[論文レビュー] Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads

Michael Batanin, Joachim Kock+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Getzlerの正規パターン、DayとStreetの置換的構造、KaufmannとWardのフェยnmanshipカテゴリ、およびカラーレスオペラッドの2カテゴリの双同値関係を確立し、それらの代数の圏が同値であることを示している。Powerの整合性定理とGuitartの正確性を用いて、GetzlerとKaufmann–Wardの継承的公理を、左カルタン拡張と自由対称モノイド圏2モノイドの間の整合性条件として統一する。

ABSTRACT

We show that the regular patterns of Getzler (2009) form a 2-category biequivalent to the 2-category of substitudes of Day and Street (2003), and that the Feynman categories of Kaufmann and Ward (2013) form a 2-category biequivalent to the 2-category of coloured operads (with invertible 2-cells). These biequivalences induce equivalences between the corresponding categories of algebras. There are three main ingredients in establishing these biequivalences. The first is a strictification theorem (exploiting Power's General Coherence Result) which allows to reduce to the case where the structure maps are identity-on-objects functors and strict monoidal. Second, we subsume the Getzler and Kaufmann--Ward hereditary axioms into the notion of Guitart exactness, a general condition ensuring compatibility between certain left Kan extensions and a given monad, in this case the free-symmetric-monoidal-category monad. Finally we set up a biadjunction between substitudes and what we call pinned symmetric monoidal categories, from which the results follow as a consequence of the fact that the hereditary map is precisely the counit of this biadjunction.

研究の動機と目的

• 正規パターンの2カテゴリと置換的構造の2カテゴリの間の双同値関係を確立し、それらの代数の圏が同値であることを示す。
• フェイnmanshipカテゴリの2カテゴリが、逆元を持つ2セルを備えたカラーレスオペラッドの2カテゴリと双同値であることを証明する。
• Getzlerの正規パターンとKaufmann–Wardのフェイnmanshipカテゴリにおける継承的公理を、自由対称モノイド圏2モノイドに関してのGuitartの正確性という一般概念の下で統一する。
• オペラッドにおける可逆な単項演算の群範点がフェイnmanshipカテゴリにおける色の群範点に対応することを示し、より深い構造的同値性を明らかにする。
• 2モノイド理論とPowerの整合性結果を用いて、オペラッド理論におけるカルタン拡張構成のための圏論的枠組みを提供する。

提案手法

• 対称モノイド関手を厳密化するため、Powerの一般整合性結果を適用し、対象上での恒等関手に帰着させる。
• CatにおけるGabriel分解系を用いて関手を、対象上での全単射部分と完全忠実部分に分解し、豊かに補完された引き戻しを介して厳密化を可能にする。
• 左カルタン拡張と自由対称モノイド圏2モノイドの間の整合性を保証する2圏的条件として、Guitartの正確性の概念を導入する。
• 置換的構造とピン留めされた対称モノイド圏の間の双随伴を構成し、余単位が継承的条件を符号化する。
• この双随伴の余単位が、GetzlerとKaufmann–Wardの両フレームワークにおける継承写像に正確に一致することを活用する。
• 厳密化と正確性の条件が、対称モノイド関手に沿った左カルタン拡張が必要なオペラッド的構造を保存することを保証することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規パターン（Getzler）と置換的構造（DayとStreet）は、2カテゴリのレベルでどのように関係しているか？
• RQ2 フェイnmanshipカテゴリ（KaufmannとWard）とカラーレスオペラッドの間の圏論的関係は何か？
• RQ3 Getzlerの正規パターンとKaufmann–Wardのフェイnmanshipカテゴリにおける継承的公理は、単一の抽象的条件として統一可能か？
• RQ4 対称モノイド関手に沿った左カルタン拡張が、どの程度オペラッド的構造を保存するのか。どのような条件がこれを保証するか？
• RQ5 オペラッドにおける可逆な単項演算の群範点は、フェイnmanshipカテゴリにおける色の群範点とどのように関係しているか？

主な発見

• 正規パターンの2カテゴリは、置換的構造の2カテゴリと双同値であり、それらに対応する代数の圏は同値である。
• フェイnmanshipカテゴリの2カテゴリは、逆元を持つ2セルを備えたカラーレスオペラッドの2カテゴリと双同値であり、構造的同値性が確立される。
• GetzlerとKaufmann–Ward両者のフレームワークにおける継承的公理は、すべて自由対称モノイド圏2モノイドに関してのGuitartの正確性の例である。
• カラーレスオペラッドにおける可逆な単項演算の群範点は、関連するフェイnmanshipカテゴリにおける色の群範点に正確に一致し、隠れた対称性が明らかになる。
• Powerの定理による厳密化結果により、すべての対称モノイド関手を対象上での恒等関手に置き換えることができ、カルタン拡張の解析が簡略化される。
• 置換的構造とピン留めされた対称モノイド圏の間の双随伴は、双同値関係を誘導する。余単位は両者において継承的条件を符号化する。