[論文レビュー] Regularity of fully non-linear elliptic equations on Hermitian manifolds. II

Rirong Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 74被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヘルミート多様体上の完全非線形楕円型方程式（勾配項を含む）に対して鋭い2階の事前推定と可解性を確立する。特に、$(n-1)$-正則下性関数のためのモンジュ＝アンペール方程式に対しても適用可能である。新規の定量的境界推定を導入し、積多様体上での劣解の構成により、境界およびデータの正則性が弱まった場合の勾配推定と存在定理を示した。境界の幾何構造が正則性条件に与える影響を明らかにした。

ABSTRACT

In this paper we investigate the regularity and solvability of solutions to Dirichlet problem for fully non-linear elliptic equations with gradient terms on Hermitian manifolds, which include among others the Monge-Ampère equation for $(n-1)$-plurisubharmonic functions. Some significantly new features of regularity assumptions on the boundary and boundary data are obtained, which reveal how the shape of the boundary influences such regularity assumptions. Such new features follow from quantitative boundary estimates which specifically enable us to apply a blow-up argument to derive the gradient estimate. Interestingly, the subsolutions are constructed when the background space is moreover a product of a closed Hermitian manifold with a compact Riemann surface with boundary.

研究の動機と目的

• ヘルミート多様体上での勾配項を含む完全非線形楕円型方程式に対する2階の事前推定を確立すること。
• 境界および境界データの正則性が弱まった場合のディリクレ問題の可解性を調査すること。
• 境界の幾何構造が解に必要な正則性条件にどのように影響するかを分析すること。
• 積多様体 $X \times S$ 上に劣解を構成することで、ブロー・アップ法の適用を可能にする。ここで $X$ は閉じたヘルミート多様体、$S$ は境界をもつコンパクトなリーマン面である。
• モンジュ＝アンペール方程式（$(n-1)$-正則下性関数のためのもの）および関連する幾何学的問題へ結果を拡張すること。

提案手法

• 境界上での接線的作用素と曲率推定を用いて、接線方向・法線方向導関数に対する定量的境界推定を導出する。
• 定量的境界推定をブロー・アップ法に適用し、境界の構造と方程式の楕円型性を活用して勾配推定を導出する。
• 因子のバランスの取れた構造と $ olimits$-劣解条件の存在を活用して、積多様体 $X \times S$ 上に劣解を構成する。
• $ olimits$-劣解の概念（すべての $i$ に対して $ olimits_{t\to\infty} f(\lambda(\underline{u}) + t e_i) > \psi$ を満たす条件）を用いることで、境界における幾何的制約を緩和する。
• 変形法と固有値数え上げ関数の連続性を用いて、大規模な摂動下での固有値の漸近的挙動を分析する。
• 連続性法と事前推定を用いて、与えられた条件下での解の存在性と一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の幾何構造は、ヘルミート多様体上での完全非線形楕円型方程式の解に必要な正則性仮定にどのように影響するか？
• RQ2 正則性が弱まった場合、境界および境界データにどのような条件が要求されれば勾配推定が可能になるか？
• RQ3 積多様体 $X \times S$ 上に劣解を構成することで、勾配推定のためのブロー・アップ法を容易にできるか？
• RQ4 境界および境界データの正則性仮定をどの程度弱めても、ディリクレ問題の可解性は保たれるか？
• RQ5 結果は、$(n-1)$-正則下性関数のためのモンジュ＝アンペール方程式へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• ブロー・アップによる勾配推定に不可欠な、接線方向・法線方向導関数に対する新規の定量的境界推定が確立された。
• 境界および境界データの正則性が弱まった場合でも勾配推定が得られ、境界の形状が必要な正則性に直接影響することが明らかになった。
• 積多様体 $X \times S$ 上に劣解が成功裏に構成された。ここで $X$ は閉じたヘルミート多様体、$S$ は境界をもつコンパクトなリーマン面である。これにより、ブロー・アップ技法の適用が可能になった。
• 境界が正則性が低い場合でも、$ olimits$-劣解条件が成り立つ限り、完全非線形楕円型方程式のディリクレ問題に対する解の存在が証明された。
• $(n-1)$-正則下性関数のためのモンジュ＝アンペール方程式に対しても、バランスの取れた因子をもつ積多様体上での劣解構成と、弱い正則性のもとでの存在証明により、結果が拡張された。
• 与えられた条件下で弱解の一意性が確立された。これは $ olimits_{\psi,f}$ の正の厳密性と劣解条件に依存している。