[論文レビュー] Regularity vs. constructive complete (co)distributivity

Hongliang Lai, Lili Shen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、小さな量的群 Q に対して、正則 Q-分配者と構成的に完全分配的（ccd）Q-圏の間で圏的同値を確立し、Q-分配者 ϕ の正則性が Kϕ が（ccd）であることと同値であるための必要十分条件として、Q がギラール量的群であること、すなわち Q がギラール量的群であることと同値であることを証明する。主な貢献は、古典的な正則関係と完全分配的ラティスの関係を豊かにされた圏論に一般化し、選択公理を用いない Theorem 1.1 の新しい証明を提供することにある。

ABSTRACT

It is well known that a relation $φ$ between sets is regular if, and only if, $\mathcal{K}φ$ is completely distributive (cd), where $\mathcal{K}φ$ is the complete lattice consisting of fixed points of the Kan adjunction induced by $φ$. For a small quantaloid $\mathcal{Q}$, we investigate the $\mathcal{Q}$-enriched version of this classical result, i.e., the regularity of $\mathcal{Q}$-distributors versus the constructive complete distributivity (ccd) of $\mathcal{Q}$-categories, and prove that "the dual of $\mathcal{K}φ$ is (ccd) $\implies$ $φ$ is regular $\implies$ $\mathcal{K}φ$ is (ccd)" for any $\mathcal{Q}$-distributor $φ$. Although the converse implications do not hold in general, in the case that $\mathcal{Q}$ is a commutative integral quantale, we show that these three statements are equivalent for any $φ$ if, and only if, $\mathcal{Q}$ is a Girard quantale.

研究の動機と目的

• 正則関係と完全分配的ラティスを結ぶ古典的定理を Q-圏と Q-分配者の豊かにされた設定に拡張すること。
• Q-分配者 ϕ の正則性が、関連する Q-圏 Kϕ が（ccd）であることと同値であるかどうかを調査すること。
• ϕ の正則性と Kϕ の（ccd）性の同値性が成り立つ条件、特に可換整域量的群の場合を特定すること。
• 古典的な同値性における選択公理の役割を明確にし、Q = 2 の場合に選択公理を用いない構成的証明を提供すること。
• すべての Q-分配者に対して、正則性と（ccd）性の同値性が成り立つための Q に対する必要十分条件を同定すること。

提案手法

• Q-分配者 ϕ: A → B が誘導するカーン随伴関手の固定点の完全 Q-圏 Kϕ を定義する。
• Q-豊かにされたヤオの埋め込み Y: A → PA と上界写像 sup: PA → A を用い、T ⊣ sup ⊣ Y という随伴の鎖を通じて（ccd）Q-圏を定義する。
• カーン随伴関手と Q-圏における固定点の性質を用いて、ϕ が正則ならば Kϕ が（ccd）であることを証明する。
• Kϕ が op(ccd) ならば ϕ が正則であることを示し、技術的に難しいが本稿の中心的な双対的含意を確立する。
• 双対性と双対化要素の存在を用いて、ギラール量的群とは、（ccd）性と op(ccd) 性が同値となるような量的群であると特徴づける。
• 可換整域量的群に理論を適用し、ϕ の正則性と Kϕ の（ccd）性の同値性が成り立つための必要十分条件として、量的群がギラール量的群であること、すなわち下部要素を双対化要素として持つことであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の小さな量的群 Q に対して、Q-分配者 ϕ の正則性は、関連する Q-圏 Kϕ が（ccd）であることと同値か？
• RQ2 Q に対してどのような条件下で、ϕ が正則であることと Kϕ が（ccd）であることの同値性が成り立つか？
• RQ3 Kϕ が op(ccd) ならば ϕ が正則であるという含意は一般に成り立つか？もしそうでないなら、どのような条件下で成り立つか？
• RQ4 可換整域量的群の場合、ϕ の正則性と Kϕ の（ccd）性の同値性が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ5 古典的な正則関係と完全分配的ラティスを結ぶ結果を、選択公理を用いないで構成的に証明できるか？

主な発見

• 任意の小さな量的群 Q に対して、ϕ が正則 Q-分配者であるならば、Kϕ は（ccd）である。これにより、ϕ が正則 ⇒ Kϕ が（ccd）という含意が確立される。
• 任意の小さな量的群 Q に対して、Kϕ が op(ccd) ならば、ϕ は正則である。これにより、Kϕ が op(ccd) ⇒ ϕ が正則 という双対的含意が確立される。
• Q がギラール量的群であるとき、任意の Q-分配者 ϕ に対して、ϕ が正則であること、Kϕ が（ccd）であること、Kϕ が op(ccd) であることの3つが同値である。
• Q = 2（二元量的群）の場合、Zarecki˘ı と Xu–Liu の古典的結果が特殊ケースとして回復され、選択公理に依存しない新しい証明が得られる。
• 可換整域量的群 Q に対して、すべての ϕ に対して ϕ の正則性と Kϕ の（ccd）性の同値性が成り立つための必要十分条件は、Q がギラール量的群であることである。
• 可換整域量的群 Q において、下部要素 ⊥ が双対化要素であることは、Q がギラール量的群であることと同値であり、これは量的群の場合の同値性を特徴づける。