[論文レビュー] Relaxed Dual Optimal Inequalities for Relaxed Columns: with Application to Vehicle Routing

Naveed Haghani, Claudio Contardo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ngルート緩和を用いた容量制約付き車両巡回問題における column generation に特化した緩和型双対最適不等式（SF-DOI）を導入する。滑らかで柔軟な DOI を緩和された列に適応させることで、LP緩和の弱体化を伴わずに収束を加速し、ベンチマークインスタンスで最大 1.6 倍の高速化を達成しつつ最適性を保持する。

ABSTRACT

We address the problem of accelerating column generation for set cover problems in which we relax the state space of the columns to do efficient pricing. We achieve this by adapting the recently introduced smooth and flexible dual optimal inequalities (DOI) for use with relaxed columns. Smooth DOI exploit the observation that similar items are nearly fungible, and hence should be associated with similarly valued dual variables. Flexible DOI exploit the observation that the change in cost of a column induced by removing an item can be bounded. We adapt these DOI to the problem of capacitated vehicle routing in the context of ng-route relaxations. We demonstrate significant speed ups on a benchmark data set, while provably not weakening the relaxation.

研究の動機と目的

• 容量制約付き車両巡回問題における緩和された列を伴う集合被覆定式化の column generation の加速に取り組む。
• 滑らかで柔軟な DOI（SF-DOI）フレームワークを、繰り返し顧客訪問を許容する ng ルートなどの緩和された列に拡張する。
• 大規模な車両巡回問題の column generation において、LP緩和のタイトさを維持しつつ、解法時間を大幅に短縮する。
• 最終解の最適性を損なわせることなく、DOI が緩和された価格設定問題に効果的に適用可能であることを示す。

提案手法

• 空間的に近接するか需要が類似する顧客に対して同じ双対値を課す S-DOI フレームワークを、ng ルートに適応する。
• 顧客をルートから削除した際のコスト変化を制限する F-DOI を導入し、よりタイトな双対境界を実現する。
• S-DOI と F-DOI を統合し、ng ルート定式化における緩和された列に適用可能な統一された SF-DOI フレームワークを構築する。
• 価格設定副問題に DOI を適用することで、双対空間を制約し、最適解を変更せずに探索領域を縮小する。
• 終了時に有効な DOI を動的に削除するメカニズムを実装し、非有界なプライマル解を防ぐ。
• 非基本的ルートを許容するが、局所的な短いサイクルを禁止することで、価格設定を扱いやすくする ng ルート緩和を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで柔軟な双対最適不等式（DOI）は、column generation における緩和された列に効果的に適応可能か？
• RQ2 車両巡回問題における ng ルート緩和に SF-DOI を適用することで、LP緩和の弱体化を伴わず収束速度が向上するか？
• RQ3 S-DOI と F-DOI は個別および併用した場合に、ベンチマーク CVRP インスタンスにおける column generation の性能にどのように影響を与えるか？
• RQ4 終了時に有効な DOI を削除することは、収束性と解の品質にどのような影響を及えるか？
• RQ5 DOI は ng ルートのような非基本的ルート緩和に適用可能であり、双対境界のタイトさを保持できるか？

主な発見

• SF-DOI フレームワークは、46 個のベンチマーク CVRP インスタンス全体で平均 20% の高速化を達成した。S-DOI のみで 46 個中 44 個のインスタンスで高速化を達成した。
• SF-DOI は 46 個中 21 個のインスタンスで S-DOI を上回った性能を示し、S-DOI と組み合わせた際の F-DOI の加速寄与が明確に示された。
• F-DOI 個別では平均高速化が得られなかったが、S-DOI と統合することで、複雑なインスタンスにおいて顕著な性能向上が達成された。
• 非有界なプライマル解を防ぐために、46 個中 42 個のインスタンスで終了時の DOI 削除が必須であった。これは収束安定性におけるその役割を示している。
• DOI によって非有界なプライマル解が生じたインスタンスは一切なく、数値的安定性が保持されていることが確認された。
• SF-DOI は LP 緩和のタイトさを維持しており、収束の加速を図る一方で緩和を弱体化させない。