[論文レビュー] Representing graphs as the intersection of axis-parallel cubes

Sunil L Chandran, Mathew C. Francis+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、軸に平行な立方体の交差としてグラフを表現するための効率的アルゴリズムを提示し、最大次数$\Delta$および帯域幅$b$を用いて、立方体次元数を$O(\Delta \ln n)$および$O(\Delta \ln b)$に抑えている。アプローチは帯域幅順序付けと確率的でない区間表現を用い、$O(\log \log n)$要因を除いて最適な境界が得られる。

ABSTRACT

A unit cube in $k$ dimensional space (or \emph{$k$-cube} in short) is defined as the Cartesian product $R_1 imes R_2 imes... imes R_k$ where $R_i$(for $1\leq i\leq k$) is a closed interval of the form $[a_i,a_i+1]$ on the real line. A $k$-cube representation of a graph $G$ is a mapping of the vertices of $G$ to $k$-cubes such that two vertices in $G$ are adjacent if and only if their corresponding $k$-cubes have a non-empty intersection. The \emph{cubicity} of $G$, denoted as $\cubi(G)$, is the minimum $k$ such that $G$ has a $k$-cube representation. Roberts \cite{Roberts} showed that for any graph $G$ on $n$ vertices, $\cubi(G)\leq 2n/3$. Many NP-complete graph problems have polynomial time deterministic algorithms or have good approximation ratios in graphs of low cubicity. In most of these algorithms, computing a low dimensional cube representation of the given graph is usually the first step. We present an efficient algorithm to compute the $k$-cube representation of $G$ with maximum degree $Δ$ in $O(Δ\ln b)$ dimensions where $b$ is the bandwidth of $G$. Bandwidth of $G$ is at most $n$ and can be much lower. The algorithm takes as input a bandwidth ordering of the vertices in $G$. Though computing the bandwidth ordering of vertices for a graph is NP-hard, there are heuristics that perform very well in practice. Even theoretically, there is an $O(\log^4 n)$ approximation algorithm for computing the bandwidth ordering of a graph using which our algorithm can produce a $k$-cube representation of any given graph in $k=O(Δ(\ln b + \ln\ln n))$ dimensions. Both the bounds on cubicity are shown to be tight upto a factor of $O(\log\log n)$.

研究の動機と目的

• 任意のグラフを低次元空間内の軸に平行な立方体の交差として表現するための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 最大次数や帯域幅などのグラフ構造的パラメータに基づいて、グラフの立方体次元数（このような表現に必要な最小次元）を低減すること。
• 隣接関係が$L_\infty$距離が1以下であることと正確に一致するように、グラフを$\mathbb{R}^k$に幾何的埋め込みすること。
• 既知の立方体次元数の上界$2n/3$を、帯域幅や次数などのグラフパラメータを活用することで改善すること。
• 帯域幅順序付けを用いて、NP困難な帯域幅計算でさえも、多項式時間で低次元立方体表現を生成するアルゴリズムを設計すること。

提案手法

• インディフェレンスグラフのブロックから得られる単位区間表現を生成するための確率的でないアルゴリズム（DET）を用いる。
• 帯域幅順序付けに基づいて頂点をブロックに分割するブロック分解戦略を適用し、各ブロックを独立に処理する。
• モジュロインデックス（$i = m \mod 3$）を用いて複数のレイヤーにまたがる区間表現を組み合わせることで、$k$-立方体表現を構築する。これにより、エッジのカバーと非エッジの除外が保証される。
• 全グラフをインディフェレンスグラフの交差として表現するため、$0 \leq i \leq 2$、$1 \leq j \leq t$（$t = \lceil \ln(2b) \rceil$）に対してスーパーグラフ構成$I_{i,j}$を用いる。
• 非隣接頂点ペアが少なくとも1つの次元で$n$単位以上離れるように、決定的手続きを用いて構成を確率的でなくする。
• 次元間の区間表現を統合して、$k = O(\Delta \ln b)$の$k$-立方体表現を構築する。帯域幅$b$を次元削減の主要パラメータとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数$\Delta$および帯域幅$b$を用いて、グラフの立方体次元数をより tightly に束縛できるか？
• RQ2 帯域幅順序付けを用いて、多項式時間で低次元の$k$-立方体表現を構築することは可能か？
• RQ3 グラフの立方体次元数は、その帯域幅および最大次数とどのように関係するか？また、よりtightな境界を示せるか？
• RQ4 帯域幅情報を組み込むことで、立方体次元数の$O(\Delta \ln n)$の上界をどの程度改善できるか？
• RQ5 提案された立方体次元数の境界は、特に$O(\log \log n)$要因を除いてtightであると示せるか？

主な発見

• 本稿では、最大次数$\Delta$を持つ任意のグラフに対して、$O(\Delta \ln n)$次元の$k$-立方体表現を計算するアルゴリズムを提示している。
• 洗練されたアルゴリズムにより、$b$をグラフの帯域幅として$O(\Delta \ln b)$次元の$k$-立方体表現が達成され、$b \ll n$のときには$O(\Delta \ln n)$の上界を改善する。
• 帯域幅の$O(\log^4 n)$近似アルゴリズムを用いることで、$k = O(\Delta(\ln b + \ln \ln n))$次元の$k$-立方体表現が得られる。
• 立方体次元数の境界が$O(\log \log n)$要因を除いてtightであることが示されており、完全二分木を用いたtightな例で確認されている。
• 高さ$\log n$の完全二分木では、立方体次元数は$\Omega(\log n / \log \log n)$であり、上界は$O(\Delta \ln n) = O(\log n)$であるため、$O(\log \log n)$要因を除いてtightであることが確認されている。
• アルゴリズムは多項式時間で実行され、非隣接頂点ペアが少なくとも1つの次元で分離されることを保証する確率的でない区間表現の構築に依存している。