[論文レビュー] Residues formulas for the push-forward in K-theory, the case of G2/P

Andrzej Weber, Magdalena Zielenkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbf{G}_2/P_2$ という例外的同調空間（$Gr(2,7)$ に埋め込まれる）における等化的 K 理論における押し出しのための剰余公式を開発する。シンプレクティック還元と局在化を用いて、等化的変数に依存する基本クラスを持つ K 理論的剰余公式を導出し、Grothendieck 多項式を用いた計算を可能にし、シューベルト類の明示的押し出し値をもたらす。

ABSTRACT

We study residue formulas for push-forward in K-theory of homogeneous spaces. First we review formulas for classical groups, which we derive from a formula for the classical Grassmannian case. Next we consider the homogeneous spaces for G2. One of them embeds in the Grassmannian Gr(2,7). We find its fundamental class in the equivariant K-theory and obtain the residue formula for the push-forward. This formula is valid for G2/B as well.

研究の動機と目的

• 例外的同調空間 $\mathbf{G}_2/P_2$ における等化的 K 理論の押し出しのための剰余公式を導出すること。
• $\mathbf{G}_2/P_2$ の基本クラスを $K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ において Grothendieck 多項式を用いて表現すること。
• 古典的グラスマン多様体から例外的群、特に $\mathbf{G}_2$ への剰余法の拡張を図ること。
• $K^\mathbb{T}(\mathbf{G}_2/P_2)$ および $K^\mathbb{T}(\mathbf{G}_2/B)$ におけるシューベルト類の明示的押し出しを計算すること。
• 押し出し公式が、等化的変数に依存する基本クラスを持つため、古典的ケースとは根本的に異なることの証明。

提案手法

• シンプレクティック還元と Jeffrey–Kirwan 局在化法を適用して K 理論的剰余公式を導出する。
• $\mathbf{G}_2/P_2$ を $Gr(2,7)$ に埋め込むことにより、その基本クラスをグラスマン多様体の等化的 K 理論に持ち上げる。
• K 理論計算の効率化のため、Grothendieck 多項式を基底として用いる。
• 固定点寄与の和を $D_{12}/\mathbb{Z}_2$ のコセットを渡って取ることで、局在化公式 (1) を用いて押し出しを計算する。
• 有理関数表現 (3) に対して反復剰余 $Res_{Z=0,\infty}$ を適用し、押し出しを抽出する。
• シューベルト類の交差行列を、$A = 3 - t_1 - t_2^{-1} - t_2/t_1$ および $B = 3 - t_2 - t_1^{-1} - t_1/t_2$ における対称多項式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等化的 K 理論における押し出しのための剰余公式を、古典的グラスマン多様体から $\mathbf{G}_2/P_2$ のような例外的同調空間へ一般化する方法は何か？
• RQ2 $K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ における $\mathbf{G}_2/P_2$ の基本クラスの構造は何か？
• RQ3 なぜ $\mathbf{G}_2/P_2$ の押し出し公式は古典的ケースとは著しく異なり、等化的変数に依存するのか？
• RQ4 Grothendieck 多項式は、$\mathbf{G}_2/P_2$ における押し出し計算の有効な基底として機能するか？
• RQ5 $K^\mathbb{T}(\mathbf{G}_2/P_2)$ におけるシューベルト類の交差行列の代数的構造は何か？

主な発見

• $p_!$ による Grothendieck 多項式 $G_{[0]}, G_{[1]}, G_{[2]}, G_{[11]}, G_{[3]}, G_{[21]}, G_{[31]}, G_{[22]}$ の押し出しはすべて 1 に等しい。
• $G_{[4]}, G_{[41]}, G_{[32]}$ の押し出しは 2 に等しく、$p_!(G_{[33]}) = 0$ である。
• $p_!(G_{[5]}), p_!(G_{[51]}), p_!(G_{[42]})$ は、$t_1, t_2$ に関する対称ローレンツ多項式 $A$ と $B$ に対して $A + B$ に等しい。
• $p_!(G_{[52)}) = A^2 + B^2 + AB - 2A - 2B$ であり、$p_!(G_{[43]}) = AB - A - B$ である。
• 5×2 矩形におけるシューベルト類の $21 \times 21$ 交差行列の行列式は $-1$ であり、これはユニモジュラー構造を示している。
• $\mathbf{G}_2/P_2$ の基本クラスは、$K^\mathbb{T}(Gr(2,7))$ 内で $2G_{41} + 2G_{32} - G_{33} - 3G_{42} + G_{43} + (A+B)(G_{21} - G_{22} - G_{31} + G_{32})$ として表現される。