[論文レビュー] Rough flows

Ismaël Bailleul, Sebastian Riedel|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時刻に依存するベクトル場に対する rough path の類似物として 'rough drivers' を導入し、近似フローを用いて統合理論を構築し、フロー上の rough 微分方程式の適切な定義を証明する。この理論により、ドライバーに対する解フローの連続性が確立され、古典的 semimartingale ストキャスティックフローがこの枠組みに埋め込まれ、強力な近似結果およびガウス型ストキャスティックフローの大偏差に関する新たな知見が得られる。

ABSTRACT

We introduce in this work a concept of rough driver that somehow provides a rough path-like analogue of an enriched object associated with time-dependent vector fields. We use the machinery of approximate flows to build the integration theory of rough drivers and prove well-posedness results for rough differential equations on flows and continuity of the solution flow as a function of the generating rough driver. We show that the theory of semi-martingale stochastic flows developed in the 80's and early 90's fits nicely in this framework, and obtain as a consequence some strong approximation results for general semimartingale flows and provide a fresh look at large deviation theorems for 'Gaussian' stochastic flows.

研究の動機と目的

• rough path に基づく枠組みを、時刻に依存するベクトル場に適用するため、rough driver の概念を導入すること。
• 近似フローを用いて、rough driver に対する厳密な統合理論を構築すること。
• 生成する rough driver に関して、解フローの存在・一意性および連続性を証明すること。
• 古典的 semimartingale ストキャスティックフローを rough flow 框組みに埋め込むこと。
• 一般の semimartingale フローに対して強力な近似結果を導出し、ガウス型ストキャスティックフローの大偏差定理に対する新たな視点を得ること。

提案手法

• 時刻に依存するベクトル場に関連する豊か化された対象の rough path に類するものとして、rough driver の概念を導入する。
• 近似フローの道具立てを用いて、rough driver の統合理論を構築する。
• rough flow の理論を用いて、フロー上の rough 微分方程式の解の存在・一意性および連続性を証明する。
• 後続の条件が満たされることを示すことで、rough driver と semimartingale ストキャスティックフローとの関係を確立する。
• この枠組みを用いて、一般の semimartingale フローに対する強力な近似結果を導出する。
• rough flow 構造を用いて、ガウス型ストキャスティックフローのための大偏差定理を再導出し、再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rough path 理論は、時刻に依存するベクトル場を扱うために、新たな対象である rough drivers によってどのように拡張可能か？
• RQ2 近似フローを用いて、rough driver に対してどのような統合理論を構築できるか？
• RQ3 rough 微分方程式の解フローは、生成する rough driver に関してどのように連続的依存するか？
• RQ4 古典的 semimartingale ストキャスティックフローは、rough driver 框組みにおいてどのように位置づけられるか？
• RQ5 この rough flow 形式から、ガウス型ストキャスティックフローの大偏差原理についてどのような新たな知見が得られるか？

主な発見

• rough driver 理論は、rough path 理論を時刻に依存するベクトル場へ自然に拡張し、フロー上の rough 微分方程式を体系的に取り扱うことを可能にする。
• rough driver 框組みのもとで、フロー上の rough 微分方程式の適切な定義が確立され、解は生成するドライバーに連続的に依存することが示される。
• 解フローが生成する rough driver に関して連続的であることが示され、解写像の安定性が保証される。
• semimartingale ストキャスティックフローが rough driver 条件を満たすことが証明され、自然に rough flow 框組みに埋め込まれる。
• rough driver アプローチを用いることで、一般の semimartingale フローに対して強力な近似結果が得られ、収束評価が改善される。
• この枠組みにより、ガウス型ストキャスティックフローのための大偏差定理に対する新規な構造的洞察が得られ、既存の証明が簡略化される。