[論文レビュー] $S^1$-fixed-points in hyper-Quot-schemes and an exact mirror formula for flag manifolds from the extended mirror principle diagram

Chien‐Hao Liu, Kefeng Liu+1 more|ArXiv.org|Jan 27, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、超クォット・スキーム上の $S^1$-equivariant 局所化を用いて、フラッグ多様体上のグロモフ＝ミラー不変量の正確なミラー公式を構築する。$S^1$-固定点成分 $E_{(A;0)}$ を分析し、それらの $S^1$-等化エーラー類を計算することで、積分 $\int_X \tau^* e^{H\cdot t} \cap \mathbf{1}_d$ の閉形式表現が得られ、これは基本的超幾何級数 $HG[\mathbf{1}]^X(t)$ を符号化しており、グレイスマン多様体に対する既知の結果を一般化し、トム類補正を含む家族型ホリ・バーファ公式の可能性を示唆する。

ABSTRACT

In [L-L-Y1, III: Sec. 5.4] on mirror principle, a method was developed to compute the integral $\int_{X}τ^{\ast}e^{H\cdot t}\cap {\mathbf 1}_d$ for a flag manifold $X=\Fl_{r_1, ..., r_I}({\Bbb C}^n)$ via an extended mirror principle diagram. This method turns the required localization computation on the augmented moduli stack $\bar{\cal M}_{0,0}(\CP^1 imes X)$ of stable maps to a localization computation on a hyper-Quot-scheme $\HQuot({\cal E}^n)$. In this article, the detail of this localization computation on $\HQuot({\cal E}^n)$ is carried out. The necessary ingredients in the computation, notably, the $S^1$-fixed-point components and the distinguished ones $E_{(A;0)}$ in $\HQuot({\cal E}^n)$, the $S^1$-equivariant Euler class of $E_{(A;0)}$ in $\HQuot({\cal E}^n)$, and a push-forward formula of cohomology classes involved in the problem from the total space of a restrictive flag manifold bundle to its base manifold are given. With these, an exact expression of $\int_{X}τ^{\ast}e^{H\cdot t}\cap {\mathbf 1}_d$ is obtained. Comments on the Hori-Vafa conjecture are given in the end.

研究の動機と目的

• フラッグ多様体 $X = \mathrm{Fl}_{r_1,\ldots,r_I}(\mathbb{C}^n)$ に対して、積分 $\int_X \tau^* e^{H\cdot t} \cap \mathbf{1}_d$ を計算し、これにより基本的超幾何級数 $HG[\mathbf{1}]^X(t)$ が定まる。
• モジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{CP}^1 \times X)$ 上の局所化を、超クォット・スキーム $\mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ 上の計算に還元する拡張図を用いてミラー原理を拡張する。
• 制限付きフラッグ多様体バンドル上の $S^1$-等化コホモロジーと押し出し公式を用いて、フラッグ多様体上のグロモフ＝ミラー不変量（ストリングインスタントン数）の正確な表現を導出する。
• フラッグ多様体におけるカルバイ・ヤウ多様体のホリ・バーファ公式を、トム類とヤング盤の組合せ的構造を組み込むことで一般化する。

提案手法

• 方法は、拡張されたモジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{0,0}(\mathbb{CP}^1 \times X)$ 上の局所化計算を、$\mathbb{CP}^1$ 上の部分層列の超クォット・スキーム $\mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ に還元する。
• $\mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ 内の $S^1$-固定点成分が分類され、特に $E_{(A;0)}$ と呼ばれる成分が、制限付きフラッグ多様体をファイバーとする $X$ 上のファイブレーションの塔として特定される。
• $E_{(A;0)} / \mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ の正規バンドルの $S^1$-等化エーラー類は、$E_{(A;0)}$ の $K$-理論における変形理論的分解を用いて計算される。
• 制限付きフラッグ多様体バンドルの全空間からその基底へのコホモロジー類の押し出し公式が導出され、$E_{(A;0)}$ のファイブレーションの塔に沿って反復的に適用される。
• 最終的な式は、エーラー類の計算と押し出しの組み合わせによって得られ、$y_{i,j;k}$, $\alpha$, $\zeta_i$ パラメータに関する積を含む形式的だが正確な式となる。
• 制限付きフラッグ多様体バンドル $W$ 及びそのフラッグ多様体バンドル $W'$ への埋め込みに関する一般理論が構築され、$W \hookrightarrow W'$ のトム類の明示的計算が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグ多様体上のグロモフ＝ミラー不変量は、$S^1$-等化局所化を用いてどのように正確に計算できるか？
• RQ2 $\mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ 内の $S^1$-固定点成分の正確な構造は何か？また、それらはフラッグ多様体 $X$ とどのように関係しているか？
• RQ3 この局所化法を用いて、一般のフラッグ多様体に対して基本的超幾何級数 $HG[\mathbf{1}]^X(t)$ を閉形式で表現できるか？
• RQ4 制限付きフラッグ多様体バンドルのトム類はミラー公式にどのように寄与するか？また、ホリ・バーファ公式の一般化において果たす役割は何か？
• RQ5 最終式における制約付き積 $\accentset{\sim}{\prod}_{i=1}^I$ の幾何学的・組合せ的意味は何か？また、フラッグ多様体の構造をどのように反映しているか？

主な発見

• 積分 $\int_X \tau^* e^{H\cdot t} \cap \mathbf{1}_d$ の正確な表現が、$S^1$-固定成分 $E_{(A;0)}$ の和として得られ、正規バンドルの $S^1$-等化エーラー類の逆数を含む。
• グレイスマン多様体の場合、[B-CF-K] で知られている結果を再現し、先行研究と整合性を確認する。
• 最終式は $i=1$ から $I$ までの制約付き積として表現され、$y_{i,j;k}$, $\alpha$, $\zeta_i$ およびヤング盤とフラッグ構造からの組合せ的係数を含む。
• 差の逆数積 $(-y_{i,j;k} + y_{i+1,j';k'} - l\alpha)$ および $(y_{i,j';k'} - y_{i,j;k} - (a_{i,j'} - a_{i,j})\alpha)$ の存在は、『量子部分多様体公式』に類似した量子補正構造を示唆する。
• この公式は、レベル構造が $i$ でインデックス化され、超クォット・スキーム $\mathrm{HQuot}(\mathcal{E}^n)$ がクォット・スキームの積に埋め込まれる際のトム類補正を含む、フラッグ多様体の一般化された『家族型ホリ・バーファ公式』を示唆する。
• 制限付きフラッグ多様体バンドル $W$ 及びその $W'$ へのトム類の構築は、計算に用いられる押し出し公式の技術的基盤を提供する。