[論文レビュー] Sampling and Counting Edges via Vertex Accesses.

Jakub Tětek, Mikkel Thorup|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、各クエリで頂点の次数と隣接頂点を明らかにするのみの頂点アクセスのみを用いた、グラフにおけるエッジのサンプリングとカウントのための効率的アルゴリズムを提示する。$ε$-一様エッジサンプリングおよび $s$ エッジの正確な一様サンプリングにおいて、期待時間の最適性を達成し、下界も一致させ、先行研究より改善されたクエリ複雑性を実現する近似的なエッジカウントを提供する。

ABSTRACT

We consider the problems of sampling and counting edges from a graph on $n$ vertices where our basic access is via uniformly sampled vertices. When we have a vertex, we can see its degree, and access its neighbors. Eden and Rosenbaum [SOSA 2018] have shown it is possible to sample an edge $\epsilon$-uniformly in $O(\sqrt{1/\epsilon}\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Here, we get down to expected $O(\log(1/\epsilon)\frac{n}{\sqrt{m}})$ vertex accesses. Next, we consider the problem of sampling $s>1$ edges. For this we introduce a model that we call hash-based neighbor access. We show that, w.h.p, we can sample $s$ edges exactly uniformly at random, with or without replacement, in $ ilde{O}(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ vertex accesses. We present a matching lower bound of $\Omega(\sqrt{s} \frac{n}{\sqrt{m}} + s)$ which holds for $\epsilon$-uniform edge multi-sampling with some constant $\epsilon>0$ even though our positive result has $\epsilon=0$. We then give an algorithm for edge counting. W.h.p., we count the number of edges to within error $\epsilon$ in time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon\sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^2})$. When $\epsilon$ is not too small (for $\epsilon \geq \frac{\sqrt m}{n}$), we present a near-matching lower-bound of $\Omega(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}})$. In the same range, the previous best upper and lower bounds were polynomially worse in $\epsilon$. Finally, we give an algorithm that instead of hash-based neighbor access uses the more standard pair queries (``are vertices $u$ and $v$ adjacent''). W.h.p. it returns $1+\epsilon$ approximation of the number of edges and runs in expected time $ ilde{O}(\frac{n}{\epsilon \sqrt{m}} + \frac{1}{\epsilon^4})$. This matches our lower bound when $\epsilon$ is not too small, specifically for $\epsilon \geq \frac{m^{1/6}}{n^{1/3}}$.

研究の動機と目的

• 頂点アクセスしか利用できない状況でのエッジのサンプリングおよびカウントのための効率的アルゴリズムの設計。
• $ε$-一様エッジサンプリングのクエリ複雑性を、$O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$ から $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ に低下させる。
• ハッシュベースの隣接頂点アクセスモデルを導入・活用し、$s$ エッジの正確な一様サンプリングを最適なクエリ複雑性で達成する。
• 頂点アクセスモデル下でのエッジサンプリングおよびカウントのタイトな下界を確立し、主要な領域で上界と一致させる。
• 標準的なペアクエリモデルへと結果を拡張し、エッジカウントのほぼ最適な近似アルゴリズムを提供する。

提案手法

• ハッシュベースの隣接頂点アクセスモデルを導入し、$s$ エッジの効率的かつ正確な一様サンプリングを可能にする。
• 頂点の次数と隣接頂点アクセスを活用する新しいサンプリング戦略を採用し、$O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ の期待頂点アクセスで $ε$-一様エッジサンプリングを達成する。
• 頂点サンプリングと隣接頂点プローブの組み合わせを用いて、$\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 時間で $ε$-相対誤差内でのエッジカウント推定を実現する。
• 集中不等式と確率的解析を適用し、サンプリングおよびカウント結果の高確率での正しさを証明する。
• $ε$-一様マルチサンプリングの下界を $\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ と導出し、提案アルゴリズムの最適性を示す。
• アプローチを標準的なペアクエリモデルに適応し、$\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ の期待時間でエッジカウントの $1+\epsilon$ 近似を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ精度保証のもとで、従来の手法よりも著しく少ない頂点アクセス回数でエッジサンプリングが可能か？
• RQ2 ハッシュベースの隣接頂点アクセスモデルを用いて、最適なクエリ複雑性で $s$ エッジの正確な一様サンプリングが達成可能か？
• RQ3 頂点アクセスモデル下でのエッジサンプリングおよびカウントの情報理論的限界は何か？
• RQ4 ハッシュベースの隣接頂点アクセスモデルと標準的なペアクエリモデルとの間で、エッジカウントアルゴリズムの性能はどのように比較されるか？
• RQ5 提案アルゴリズムの上界と一致するタイトな下界をエッジサンプリングおよびカウントに対して確立可能か？

主な発見

• 論文は、$ε$-一様エッジサンプリングに対して $O(\log(1/\epsilon) \cdot n / \sqrt{m})$ の期待頂点アクセスを達成し、以前の $O(\sqrt{1/\epsilon} \cdot n / \sqrt{m})$ の境界を改善した。
• ハッシュベースの隣接頂点アクセスモデル下で、$s$ エッジを正確に一様にランダムにサンプリングするアルゴリズムを提示し、復元あり・なしを問わず、$\tilde{O}(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ の頂点アクセスで実行可能である。
• $ε$-一様マルチサンプリングに対して、$\Omega(\sqrt{s} \cdot n / \sqrt{m} + s)$ の一致する下界を確立し、アルゴリズムの最適性を証明した。
• $ε$-相対誤差内でのエッジカウントに対して、アルゴリズムは高確率で $\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^2)$ 時間で実行される。
• $\epsilon \geq \sqrt{m}/n$ の場合、下界 $\Omega(n/(\epsilon \sqrt{m}))$ を証明し、対数要因を除いて上界と一致する。
• 標準的なペアクエリモデルでは、$\tilde{O}(n/(\epsilon \sqrt{m}) + 1/\epsilon^4)$ の期待時間でエッジカウントの $1+\epsilon$ 近似を達成し、$\epsilon \geq m^{1/6}/n^{1/3}$ の場合、下界と一致する。