[論文レビュー] Scale Invariance, Conformality, and Generalized Free Fields

Anatoly Dymarsky, Kara Farnsworth+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、スケール不変な4次元量子場の理論が常に共形的であるという主張における主要な穴を、トレース $T^\mu{}_{\mu}$ が一般化自由場である可能性を排除することで解決する。一般化自由場ではスケール異常を再現できないことが示され、その理由は次元2のスカラー演算子が存在する場合に限る。そのとき、改善されたエネルギー運動量テンソルが存在し、一般化自由場ではない。したがって、ユニタリティとローレンツ不変性のもとでは、4次元で非共形的なスケール不変な理論は不可能である。

ABSTRACT

This paper addresses the question of whether there are 4D Lorentz invariant unitary quantum field theories with scale invariance but not conformal invariance. An important loophole in the arguments of Luty-Polchinski-Rattazzi and Dymarsky-Komargodski-Schwimmer-Theisen is that trace of the energy-momentum tensor $T$ could be a generalized free field. In this paper we rule out this possibility. The key ingredient is the observation that a unitary theory with scale but not conformal invariance necessarily has a non-vanishing anomaly for global scale transformations. We show that this anomaly cannot be reproduced if $T$ is a generalized free field unless the theory also contains a dimension-2 scalar operator. In the special case where such an operator is present it can be used to redefine ("improve") the energy-momentum tensor, and we show that there is at least one energy-momentum tensor that is not a generalized free field. In addition, we emphasize that, in general, large momentum limits of correlation functions cannot be understood from the leading terms of the coordinate space OPE. This invalidates a recent argument by Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP). Despite the invalidity of the general argument of FLP, some of the techniques turn out to be useful in the present context.

研究の動機と目的

• 4次元におけるスケール不変だが共形でない量子場理論に関する既存の議論における重要な穴を閉じること。
• エネルギー運動量テンソルのトレース $T^\mu{}_{\mu}$ が一般化自由場である可能性を検討すること。これは、以前の共形性定理を回避する可能性を秘めている。
• 一般化自由場が、次元2のスカラー演算子が存在しない限りスケール異常を再現できないことを示すこと。
• そのようなスカラー演算子が存在する場合、一般化自由場でない改善されたエネルギー運動量テンソルが存在することを示すこと。
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP) が提示した相関関数の高運動量極限に関する最近の議論を無効にすること。

提案手法

• 有効作用 $W[g_{\mu\nu}]$ に対するWeylスケーリングされた計量 $g_{\mu\nu} = \Omega^2 \eta_{\mu\nu}$ による関数的微分を用いて、$T^\mu{}_{\mu}$ の共点および分離点における相関関数を構成する。
• フーリエ変換により運動量空間の振幅 $\tilde{A}_n(p_1,\ldots,p_n)$ を導出し、$T^\mu{}_{\mu}$ にカップルされたダイラトン場の散乱振幅を、特に $p_i^2 = 0$ のオンシェル・運動学的条件下で分析する。
• ユニタリティを用いて、$p_i^2 = 0$ における行列要素 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$ が成り立つことを示し、$T^\mu{}_{\mu}$ の構造に制約を加える。
• スケール異常に関する解析から、一般化自由場が異常を再現できるのは、次元2のスカラー演算子 $L$ が存在する場合に限ることを示す。
• 改善されたエネルギー運動量テンソル $T'^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \frac{1}{3}(\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \Box)L$ を構成することで、$L$ が存在する場合、そのテンソルが一般化自由場でないことを示す。
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP) の大運動量極限に関する議論を再検討し、OPEの振る舞いに関する誤った仮定のため失敗することを示すが、一部のFLPの手法は有用に再利用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元ユニタリスケール不変量子場理論におけるエネルギー運動量テンソルのトレース $T^\mu{}_{\mu}$ は一般化自由場である可能性があるか？
• RQ2 もし $T^\mu{}_{\mu}$ が一般化自由場であるならば、その理論のスケール異常を再現できるか？
• RQ3 次元2のスカラー演算子が存在する場合、$T^{\mu\nu}$ を改善して、その改善されたテンソルが一般化自由場でないようなものが構成可能か？
• RQ4 Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP) が提示した相関関数の高運動量極限に関する議論は、スケール不変だが共形でない理論の文脈で有効か？
• RQ5 4次元ユニタリローレンツ不変量子場理論で、スケール不変だが共形でない理論を構成することは可能か？

主な発見

• エネルギー運動量テンソルのトレース $T^\mu{}_{\mu}$ が一般化自由場であるのは、理論に次元2のスカラー演算子が存在する場合に限る。
• そのような次元2のスカラー演算子 $L$ が存在する場合、一般化自由場でない改善されたエネルギー運動量テンソル $T'^{\mu\nu}$ を構成可能である。
• スケール異常は、一般化自由場 $T^\mu{}_{\mu}$ では再現できない。その条件は、次元2のスカラー演算子が存在する場合に限る。
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP) が提示した相関関数の高運動量極限に関する議論は、OPEの主要項が大運動量振る舞いを決定すると誤って仮定しているため、無効である。
• この論文は、$p_i^2 = 0$ における行列要素 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$ が成り立つことを示しており、これは非共形的スケール不変理論にとって重要な制約である。
• 明示的な計算により、3点関数 $\langle \mathcal{O}(x_1)\mathcal{O}(x_2)\mathcal{O}(x_3)\rangle \propto 1/(x_{12}^4 x_{23}^4 x_{31}^4)$ から得られる異常多項式が、ダイラトン3点関数において正しいスケール異常を再現することを確認した。