[論文レビュー] Schauder's estimate for nonlocal kinetic equations and its applications

Zimo Hao, Mingyan Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Hölder連続係数を有する$\alpha$-安定Lévyノイズによって駆動される退化した非局所的運動方程式に対して、Littlewood-Paley分解と熱核推定を組み合わせた新規手法を用いてSchauder型推定を確立する。主な貢献は、Hölder連続なドリフトを有する退化したSDEの強い適切性の証明および、Hölder正則性条件の下で確率的輸送方程式の$C^1_b$-解の存在を示すことである。

ABSTRACT

In this paper we develop a new method based on Littlewood-Paley's decomposition and heat kernel estimates of integral form, to establish Schauder's estimate for the following degenerate nonlocal equation in $\mathbb R^{2d}$ with Hölder coefficients: $$ \partial_tu=\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}} u+b\cdot abla u+f,\ u_0=0, $$ where $u=u(t,x,{ m v})$ and $\mathscr L^{(α)}_{κ;{ m v}}$ is a nonlocal $α$-stable-like operator with $α\in(1,2)$ and kernel function $κ$, which acts on the variable ${ m v}$. As an application, we show the strong well-posedness to the following degenerate stochastic differential equation with Hölder drift $b$: $$ { m d}Z_t=b(t,Z_t){ m d}t+(0,σ(t,Z_t){ m d}L^{(α)}_t),\ \ Z_0=(x,{ m v})\in\mathbb R^{2d}, $$ where $L^{(α)}_t$ is a $d$-dimensional rotationally invariant and symmetric $α$-stable process with $α\in(1,2)$, and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^{2d}$ is a $(γ,β)$-Hölder continuous function in $(x,{ m v})$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$ and $β\in\big(1-\fracα{2},1\big)$, $σ:\mathbb R_+ imes\mathbb R^{2d} o\mathbb R^d\otimes\mathbb R^d$ is a Lipschitz function. Moreover, we also show that for almost all $ω$, the following random transport equation has a unique $C^1_b$-solution: $$ \partial_tu(t,x,ω)+(b(t,x)+L^{(α)}_t(ω))\cdot abla_x u(t,x,ω)=0,\ \ u(0,x)=φ(x), $$ where $φ\in C^1_b(\mathbb R^d)$ and $b:\mathbb R_+ imes\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded continuous function in $(t,x)$ and $γ$-order Hölder continuous in $x$ uniformly in $t$ with $γ\in\big(\frac{2+α}{2(1+α)},1\big)$.

研究の動機と目的

• 退化した非局所的運動方程式に対して、$\alpha$-安定Lévyノイズ（$\alpha \in (1,2)$）を伴うSchauder推定のための新しい解析的枠組みを構築すること。
• 加法的$\alpha$-安定ノイズによって駆動されるHölder連続ドリフトを有する退化SDEの適切性を確立すること。
• Hölder係数を有する確率的輸送方程式が$\alpha$-安定Lévyノイズの摂動を受ける場合に、$C^1_b$-解の存在と正則性を証明すること。

提案手法

• 非局所的運動作用素の解析のため、Littlewood-Paley分解と積分形熱核推定に基づく新規手法が開発された。
• 非局所作用素$\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$は、小さな跳躍（$\widetilde{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$）と大きな跳躍（$\overline{\mathscr{L}}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}$）に分解され、それぞれ別個に取り扱われる。
• 可測写像$g(t,x,\mathrm{v},w)$を用いた変数変換により、小さな跳躍成分が古典的PDE技法に適した形に変換される。
• 各ステップで正則化されたPDEを解くために、Stochastic flow表現と$\mathscr{C}^m$-正則性推定を用い、Picard反復が適用される。
• Gronwallの不等式とFatouの補題を用いて、すべての$m \in \mathbb{N}$に対して$C([0,T];\mathscr{C}^m)$内での反復列の収束が確立され、滑らかさクラスにおける解が得られる。
• 本手法は、Lévyノイズの正則化効果を活用し、ドリフト係数の低正則性を補償することで、Hölder連続性が適切性のための十分条件となることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化した非局所的運動方程式に対して、$\alpha \in (1,2)$のとき、$\alpha$-安定LévyノイズとHölder連続係数を有する場合にSchauder推定を確立できるか？
• RQ2 $\alpha$-安定Lévyノイズの正則化効果により、Hölder連続ドリフトを有する退化SDEの強い適切性が保証されるか？
• RQ3 ドリフト$b$にどのような正則性条件を課すと、$\alpha$-安定ノイズを伴う確率的輸送方程式がほとんど確実に一意の$C^1_b$-解を有するようになるか？

主な発見

• 退化した非局所的運動方程式$\partial_t u = \mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa;\mathrm{v}}u + b \cdot \nabla u + f$に対して、$\alpha \in (1,2)$およびHölder連続係数の下でSchauder推定が確立された。
• ドリフトが$(\gamma,\beta)$-Hölder連続で、$\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$および$\beta \in \left(1 - \frac{\alpha}{2}, 1\right)$であるとき、退化SDE$dZ_t = b(t,Z_t)dt + (0, \sigma(t,Z_t)dL_t^{(\alpha)})$の強い適切性が証明された。
• ほとんどすべての$\omega$に対して、確率的輸送方程式$\partial_t u + (b(t,x) + L_t^{(\alpha)}(\omega)) \cdot \nabla_x u = 0$は、$b$が有界で$t$に関して連続的かつ$x$に関して$\gamma$-Hölder連続で、$\gamma \in \left(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)}, 1\right)$であるとき、一意の$C^1_b$-解を有する。
• 解は、$\mathscr{C}^m$-正則化されたPDEの系列に対するPicard反復により構成され、すべての$m \in \mathbb{N}$に対して$C([0,T]; \mathscr{C}^m)$内での収束が確立された。
• $\|u_n(s)\|_{\mathscr{C}^m}$および$\|u_n - u_k\|_{\mathscr{C}^m}$の一様有界性が保証され、GronwallとFatouの補題を用いて$\mathscr{C}^m$位相における収束が導かれた。
• 主な技術的革新は、可測変換$g$を用いて小さな跳躍成分を再パラメータ化し、非局所作用素に対しても古典的PDE技法を適用可能にする点にある。