[論文レビュー] SDEs with critical time dependent drifts: weak solutions

Michael Röckner, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 45被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$d/p + 2/q = 1$ を満たす臨界ルベーグ空間 $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ に属する時間に依存するドリフト項と加法的ノイズを有する非一様時間係数のSDEの弱解の一意存在を確立し、長年の未解決問題であった境界ケース $(p,q) = (d,\infty)$ を解消した。証明は、De Giorgi型反復法と最大 $L^p$-推定を用いて、2階ソボレフ空間における関連するコルモゴロフ後退方程式を解くことに依拠している。

ABSTRACT

We prove the unique weak solvability of time-inhomogeneous stochastic differential equations with additive noises and drifts in critical Lebsgue space $L^q([0,T]; L^{p}(\mathbb{R}^d))$ with $d/p+2/q=1$. The weak uniqueness is obtained by solving corresponding Kolmogorov's backward equations in some second order Sobolev spaces, which is analytically interesting in itself.

研究の動機と目的

• ドリフト項が臨界ラジャンスキー＝プロディ＝セリーン条件 $d/p + 2/q = 1$ を満たすSDEの弱解の一意存在という未解決問題を解消すること、特に端点ケース $(p,q) = (d,\infty)$ を含む。
• 2階ソボレフ空間における対応するコルモゴロフ後退方程式の解法により弱一意性を確立すること。これは解析的に新規かつ非自明である。
• 従来の特異ドリフト項を有するSDEに関する結果を、亜臨界領域を超えて臨界および超臨界領域へと拡張すること。
• 強解がローレンツ空間や小規模仮定などの stricter 積分可能性条件のもとでのみ知られている文献のギャップを埋めること。

提案手法

• 著者らは、2階ソボレフ空間におけるコルモゴロフ後退方程式の解に対して、De Giorgiの反復法を用いて事前推定を得る。
• 最大 $L^p$-推定と補間技法を適用し、臨界ルベーグ空間 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}(T)$ におけるドリフト項を制御する。
• ドリフト $b$ を有界な切り捨て $b^N_1$ で近似する切り捨て法を用い、臨界ノルム内での収束を保証する。
• コルモゴロフ方程式に切り捨て関数 $\eta_x$ を代入し、$u_k = (u - k)^+$ を含むエネルギー型不等式を導出する。
• 鍵となるステップは、ドリフト項を三つの部分 $b_0$、$b - b^N_1$、$b^N_1$ に分解し、それぞれに異なる推定（ローレンツ空間の境界やホルダーの不等式）を適用することである。
• 最終的な推定は、エネルギー項、勾配項、および低次の項を組み合わせることで得られ、$V(t)$-ノルムにおける一様有界性を示し、必要な積分可能性とコンパクト性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト項 $b \in L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ で $d/p + 2/q = 1$ を満たすとき、SDE $\mathrm{d}X_t = b(t,X_t)\mathrm{d}t + \sqrt{2}\mathrm{d}W_t$ は、端点ケース $(p,q) = (d,\infty)$ を含めて一意弱解を有するか？
• RQ2 臨界積分可能性条件下で、2階ソボレフ空間における対応するコルモゴロフ後退方程式の可解性を通じて弱一意性を確立できるか？
• RQ3 亜臨界領域における強解の既知の結果を、小規模仮定やローレンツ型ノルムを要件としない臨界領域へと拡張可能か？
• RQ4 De Giorgi型反復法は、コルモゴロフ方程式の文脈において、臨界時間依存ドリフト項を扱うためにどのように適合可能か？

主な発見

• 本稿は、$d/p + 2/q = 1$ を満たすドリフト項を有するSDEが $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ に属する場合、特に臨界ケース $(p,q) = (d,\infty)$ においても弱解の一意存在を証明した。
• 弱一意性は、2階ソボレフ空間におけるコルモゴロフ後退方程式の解法により確立され、これは解析的に新規な貢献である。
• 解は、臨界積分可能性下で、後退方程式にDe Giorgiの反復法を適用することにより構成され、$L^\infty$-有界性が得られる。
• その方法により、$\|u_k \eta_x\|_{V(t)} \leq C(\|u_k\|_{{\mathbb{L}}^2_2(Q(t,x))} + \|f\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^{p_3}_{q_3}(T)} \|\mathbf{1}_{A(t,x;k)}\|_{{\mathbb{L}}^{p^*_3}_{q^*_3}})$ の形の均一有界性が得られ、ここで $C$ は $d,p_i,q_i,\varepsilon$、および $b_1$ に依存する。
• 結果は、$d/p_1 + 2/q_1 < 1$ かつ $\|\text{div}\,b\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^{p_2}_{q_2}(T)}$ が有限であるような $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}(T)$ の場合にも拡張可能であり、定数は $b$ および $\text{div}\,b$ のノルムに依存する。