[論文レビュー] Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、境界が正則かつ分離されている条件下で、二重に反射する二階後向き stochastic 微分方程式（2BSDE）が存在し、一意的であることを確立する。この2BSDEは、モデル不確実性下での不確実なDynkinゲームと関連づけられ、金融市場におけるボラティリティ不確実性下でのアメリカンゲーム・オプションの価格設定のための新しい枠組みを提供する。古典的DRBSDE理論を、モデル不確実性への拡張として発展させる。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of [33] concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of two obstacles. Under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in [10], and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas [11]. More precisely, we show under a technical assumption that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty

研究の動機と目的

• 一重の反射境界から二重の反射境界への、二階反射BSDEの適切性理論の拡張を目的とする。
• モデル不確実性下での最適停止ゲームと二重に反射する二階BSDEとの関係を確立すること。
• ボラティリティ不確実性下の金融市場におけるアメリカンゲーム・オプション（イvリーオプション）の価格設定のための新しい手法を提供すること。
• 古典的なDRBSDEとDynkinゲームの関係を、不確実性下での二階設定に一般化すること。
• ボラティリティの曖昧性を伴う不完全市場におけるヘッジの上界と下界を扱う理論的枠組みを構築すること。

提案手法

• 二重に反射する二階BSDEを導入し、二つの境界LとUを用い、解Yがそれらの間で拘束されることを仮定する。
• 一つの境界に対して正則性条件を課す（[10]と同様のもの）と同時に、二つの境界が完全に分離されていると仮定する。
• ペナルティ法と事前推定を用いて、与えられた仮定の下で解の存在と一意性を証明する。
• g-上マルティンゲールの比較定理を適用し、ペナルティ化された解の列に対する弱収束を構成する。
• 生成子に関する技術的仮定の下で、2BSDEの解と不確実なDynkinゲームの価値過程との関係を確立する。
• この理論を応用して、ボラティリティ不確実性下におけるアメリカンゲーム・オプションのスーパーヘッジおよびサブヘッジ価格を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重に反射する二階BSDEが二つの境界を持つ場合、どのような条件下で一意的な解が存在するか？
• RQ2 二階反射BSDEは、モデル不確実性下での最適停止ゲームとどのように関連づけられるか？
• RQ3 二階BSDE理論を用いて、ボラティリティが不確実な状況下でアメリカンゲーム・オプションを価格付け可能か？
• RQ4 Mokobodski型条件は、二階反射BSDEの文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 これらの2BSDEの解は、不確実なDynkinゲームの価値関数とどのように関係するか？

主な発見

• 二つの境界に対して正則性および分離性の仮定を課した下で、本稿は二重に反射する二階BSDEの完全な適切性理論を確立する。
• 生成子に関する技術的仮定の下で、2BSDEの解が不確実なDynkinゲームの価値過程を表すことが示された。
• 2BSDEの枠組みにより、ボラティリティ不確実性を伴う市場におけるアメリカンゲーム・オプションのスーパーヘッジおよびサブヘッジ価格を導出可能である。
• 解の存在はペナルティスキームと事前推定を用いて証明され、弱収束によって収束が確立された。
• g-上マルティンゲールの下降不等式を用いて、解の時間的連続性を解析し、古典的結果を二階設定へと拡張した。
• g-上マルティンゲールの比較定理を用いて、局所時間過程K+とK−の最小作用が保証され、解が境界内に留まることを保証した。