[論文レビュー] Semiclassical limit for Schrödinger equations with magnetic field and Hartree-type nonlinearities

Silvia Cingolani, Simone Secchi+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Advanced Mathematical Physics ProblemsMathematics参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、磁場とハートリー型非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、多重ピークの半古典的解の存在を確立し、プランク定数が0に近づく際、解が電磁ポテンシャルの最小点に集中することを示している。ペナルティ法と変分的技法を用いて、非局所的相互作用および磁場が存在する中でも、非退化なポテンシャルの最小点の周辺に複数の集中領域が形成されることを証明している。

ABSTRACT

The semi-classical regime of standing wave solutions of a Schrödinger equation in presence of non-constant electric and magnetic potentials is studied in the case of non-local nonlinearities of Hartree type. It is show that there exists a family of solutions having multiple concentration regions which are located around the minimum points of the electric potential.

研究の動機と目的

• 磁場ポテンシャルおよびハートリー型非線形性を有するシュレーディンガー方程式の定常波解の半古典的極限を解析すること。
• 半古典的パラメータが0に近づく際、電磁ポテンシャルの最小点の周辺に集中する多重ピーク解の存在を確立すること。
• 従来の非局所的非線形性に関する結果を、文献で未解決であった磁場を含む系へと拡張すること。
• 変分的およびペナルティ法を用いて、非局所的相互作用および電磁場が共に存在する状況における集中現象を証明すること。

提案手法

• 文献[13]で最近開発されたペナルティ技法を用い、制約付き変分枠組みで解を構成する。
• 変数変換を用いて、元の式を、半古典的パラメータεがスケーリングされたポテンシャルおよび磁場に現れる形に変換する。
• ポホジャエフの恒等式および軌道的安定性の性質を用いて、基底状態の構造とコンactnessを分析する。
• ペナルティ関数のパラメータに対してパラス・スモール条件を確立し、最小化列の収束を保証する。
• モーザー反復およびブートストラップ論法を用いて、解のL∞ノルムの有界性を証明する。
• 比較原理およびカトの不等式による減衰推定を用いて、集中領域から離れた部分における解の指数的減衰を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁場およびハートリー型非線形性を有する半古典的シュレーディンガー方程式に対して、多重ピーク解は存在するか？
• RQ2 半古典的極限において、解の集中領域はどこに形成されるか？
• RQ3 磁場ポテンシャルが存在する場合、ゼロ磁場の場合と比較して集中挙動はどのように変化するか？
• RQ4 ペナルティ法は、磁場が存在する中で非局所的ハートリー型非線形性を扱うために適切に適応可能か？
• RQ5 半古典的パラメータε → 0の下での解の漸近的挙動は何か？

主な発見

• ε → 0の際に、電磁ポテンシャルの最小点の近傍に複数の点に集中する解の族が存在する。
• 解は集中領域から離れるに従い指数的減衰を示し、|uε(x)| ≤ C exp(−c dist(x, (M²β)ε ∪ (Zβ)ε)) という形の評価が、あるC, c > 0に対して成り立つ。
• 磁場ポテンシャルの零点集合Zが空でない場合、解は(Z²δ)ε上で指数的減衰を示し、|uε(y)| ≤ C exp(−c/ε) が、あるC, c > 0に対して成り立つ。
• ペナルティ法により、十分に小さいε > 0に対して、元の式を満たす解が正しく得られる。
• 非局所的ハートリー型相互作用および磁場の両方の影響下でも、集中挙動は安定である。
• エネルギー汎関数はパラス・スモール条件を満たしており、変分枠組みにおける最小化列の収束が保証される。