[論文レビュー] Separate, Measure and Conquer: Faster Algorithms for Max 2-CSP and Counting Dominating Sets

Serge Gaspers, Gregory B. Sorkin|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 56被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフの分離集合と測定と征服解析を組み合わせることで、Max 2-CSP および #Dominating Set のためのより高速な多項式空間アルゴリズムを達成する、新しいアルゴリズム的枠組み「Separate, Measure and Conquer」を提案する。スパースなグラフ、特に3正則グラフにおける小さなバランスの取れた分離集合を活用することで、インスタンスを独立した部分問題に分解し、分岐の利得を平均化する解析を通じて、最悪計算量の上限を改善する。

ABSTRACT

We show a method resulting in the improvement of several polynomial-space, exponential-time algorithms. An instance of the problem Max (r,2)-CSP, or simply Max 2-CSP, is parametrized by the domain size r (often 2), the number of variables n (vertices in the constraint graph G), and the number of constraints m (edges in G). When G is cubic, and omitting sub-exponential terms here for clarity, we give an algorithm running in time r^((1/5)n) = r^((2/15)m); the previous best was r^((1/4)n) = r^((1/6)m). By known results, this improvement for the cubic case results in an algorithm running in time r^((9/50)m) for general instances; the previous best was r^((19/100)m). We show that the analysis of the earlier algorithm was tight: our improvement is in the algorithm, not just the analysis. The new algorithm, like the old, extends to Polynomial and Ring CSP. We also give faster algorithms for #Dominating Set, counting the dominating sets of every cardinality 0,...,n for a graph G of order n. For cubic graphs, our algorithm runs in time 3^((1/6)n); the previous best was 2^((1/2)n). For general graphs, we give an unrelated algorithm running in time 1.5183^n; the previous best was 1.5673^n. The previous best algorithms for these problems all used local transformations and were analyzed by the "Measure and Conquer" method. Our new algorithms capitalize on the existence of small balanced separators for cubic graphs - a non-local property - and the ability to tailor the local algorithms always to "pivot" on a vertex in the separator. The new algorithms perform much as the old ones until the separator is empty, at which point they gain because the remaining vertices are split into two independent problem instances that can be solved recursively. It is likely that such algorithms can be effective for other problems too, and we present their design and analysis in a general framework.

研究の動機と目的

• スパースなグラフの構造的性質を活用して、Max 2-CSP および #Dominating Set のためのより高速な多項式空間の指数時間アルゴリズムを開発すること。
• 従来の測定と征服解析の限界を克服するため、特に小さなバランスの取れた分離集合を含むグローバルなグラフ構造を分岐プロセスに統合すること。
• 木分解に基づく動的計画法とは異なり、指数的空間に依存せずに、より良い最悪計算量の上限を達成すること。
• 従来の境界のタイトさを示すことで、改善が分析の洗練によるものではなく、アルゴリズム設計そのものによるものであることを実証すること。
• 有効度数や低木幅構造を持つ他の問題にも適用可能な一般枠組みを確立すること。

提案手法

• 分離集合を用いてインスタンスを独立した部分問題に分解する際のグローバルな効果を反映する新しい測定を、測定と征服フレームワークに導入すること。
• 小さなバランスの取れた分離集合（例えば、3正則グラフではサイズ約 n/6）を用いて、局所的分岐の後にグラフを独立したコンポonentに分割すること。
• 分離集合内の頂点を中心に分岐決定を調整し、分解が発生するまで効率を維持すること。
• 独立した部分問題を解く計算的利得を、直前の線形個の分岐ステップにわたって平均化すること。
• 標準的な測定と征服解析に分離集合に基づく分解を統合し、時間計算量の推定を洗練すること。
• 既知の3正則グラフおよび一般グラフにおける分離集合に関する構造的結果を用いて、Max 2-CSP および #Dominating Set にこの手法を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐アルゴリズムにおける小さなバランスの取れた分離集合の使用が、Max 2-CSP のための証明可能なより高速な多項式空間アルゴリズムをもたらすか。
• RQ2 分離集合のようなグローバルな構造的性質を組み込むことで、測定と征服法はどの程度向上できるか。
• RQ3 実行時間の改善は、アルゴリズム的革新によるものか、それとも既存のアルゴリズムのよりタイトな解析によるものか。
• RQ4 この手法は、有効度数や低木幅を持つ他のNP困難問題に一般化可能か。
• RQ5 木分解に基づく指数的空間の動的計画法と比較して、このアプローチの限界は何か。

主な発見

• 3正則グラフ上のMax 2-CSPに対して、アルゴリズムは時間 $ r^{(1/5)n} = r^{(2/15)m} $ で実行され、従来の $ r^{(1/4)n} = r^{(1/6)m} $ よりも向上している。
• 一般のMax 2-CSPインスタンスに対しては、改善後の境界は $ r^{(9/50)m} $ であり、従来の $ r^{(19/100)m} $ よりも良好で、改善は分析の洗練ではなくアルゴリズム的革新によるものである。
• 同じ実行時間の改善は、Max Cut、Polynomial CSP、Ring CSP の特殊ケースに対しても適用可能である。
• 3正則グラフ上の#Dominating Setに対して、アルゴリズムは時間 $ 3^{(1/5)n} $ で実行され、従来の $ 2^{(1/2)n} $ よりも向上している。
• 一般グラフに対しては、#Dominating Set の新しいアルゴリズムは時間 $ 1.5183^n $ で実行され、従来の $ 1.5673^n $ よりも向上している。
• 解析により、従来のアルゴリズムがタイトであることが示され、改善が分析の洗練によるものではなく、アルゴリズム設計そのものによるものであることが確認された。