[論文レビュー] Separating Path and Identity Types in Presheaf Models of Univalent Type Theory

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特に第一および第二のクレーネ代数上の余層モデルにおいて、命題的切断が存在する場合、経路型が同一型として機能できないことを示している。ブロウエル的反例と実現可能性の議論を用いて、反射写像が構成的になおる非自明な被覆写像でないことを証明し、そのようなモデルにおいて経路型と同一型の直接的同一化が不可能であることを示している。

ABSTRACT

We give a collection of results regarding path types, identity types and univalent universes in certain models of type theory based on presheaves. The main result is that path types cannot be used directly as identity types in any Orton-Pitts style model of univalent type theory with propositional truncation in presheaf assemblies over the first and second Kleene algebras. We also give a Brouwerian counterexample showing that there is no constructive proof that there is an Orton-Pitts model of type theory in presheaves when the universe is based on a standard construction due to Hofmann and Streicher, and path types are identity types. A similar proof shows that path types are not identity types in internal presheaves in realizability toposes as long as a certain universe can be extended to a univalent one. We show that one of our key lemmas has a purely syntactic variant in intensional type theory and use it to make some minor but curious observations on the behaviour of cofibrations in syntactic categories.

研究の動機と目的

• 余層に基づくオルトン＝ピッツ風の同値型理論モデルにおいて、経路型が同一型として使用可能かどうかを調査すること。
• 経路型が同一型として使用される場合に、反射写像 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ が構成的に非自明な被覆写像でなくなる条件を特定すること。
• 実現可能性トポスおよび余層アセンブリにおいて、同値型の多様体が存在する場合、経路型が同一型として機能できないことを示すこと。
• 同値性と命題的切断を備えた構成的型理論において、経路型を同一型として使用する際の制限を明らかにすること。
• 同値性、正規性、および経路型と同一型の定義的同一化の間の緊張を、型理論的モデルにおいて明確にすること。

提案手法

• 特定の実現可能性モデルにおいて、定数経路のすべての経路への包含写像が点ごとの決定不能性を示す、ブロウエル的反例を構成する。
• 経路型が同一型であるという仮定から、特定の写像が被覆写像でなければならないことを導出する。これはファイブレーションの構造と上り上げ性質を活用する。
• 同値型の多様体を適用して、被覆写像が二重否定の下で点ごとに安定することを示し、非構成的結果を導く。
• これらの技法を組み合わせて、実現可能性モデルにおいて構成的に無効な結果を導出する。例えば、非自明な被覆写像の像の決定不能性。
• 内挿的型理論における重要な補題の句単位的バージョンを用いて、句単位的圏における被覆写像の振る舞いを分析する。
• 第一および第二のクレーネ代数上の余層に基づくモデルを分析し、立方体アセンブリおよび実現可能性トポスに焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一および第二のクレーニー代数上の余層アセンブリにおいて、命題的切断を伴うオルトン＝ピッツ風の同値型理論モデルにおいて、経路型を同一型として同一視できるか。
• RQ2 経路型が同一型として使用される場合に、反射写像 $ r^X: X \to X^\mathbb{I} $ が構成的に非自明な被覆写像であることを示す証明は存在するか。
• RQ3 同値型の多様体が存在する場合、実現可能性トポスにおいて経路型を同一型として使用する際の制限は何か。
• RQ4 正規性条件（例：$ \sigma $-規則）をどの程度活用すれば、同値性を保ちつつ経路型と同一型を調和させられるか。
• RQ5 同値性、良好な計算的性質（正規性や型チェックの決定可能性など）、および経路型と同一型の定義的同型を同時に満たす型理論は構築可能か。

主な発見

• 第一および第二のクレーニー代数上の余層アセンブリにおいて、命題的切断が存在する場合、経路型は同一型として使用できない。
• ブロウエル的反例により、このようなモデルにおいて反射写像 $ r^X $ が非自明な被覆写像であるという構成的証明が存在しないことが示された。
• 経路型が同一型であるという仮定は、特定の写像が被覆写像でなければならないことを強制し、実現可能性モデルにおいて非構成的結果をもたらす。
• 実現可能性トポス内の内部余層において、同値型の多様体が拡張可能であれば、経路型は同一型ではない。
• 本稿の重要な補題には、内挿的型理論における完全に句単位的なバージョンが存在し、句単位的圏における被覆写像の微妙な振る舞いを明らかにする。
• これらの結果は、同値性、良好な計算的性質（正規性や型チェックの決定可能性など）、および経路型と同一型の定義的同一化を同時に満たす型理論を構築することが不可能であることを示唆している。