[論文レビュー] Sequential periods of the crystalline Frobenius

Julian Rosen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、de Rhamコホロロジー上のクリスタリン・フロベニウス作用の枠組みとして、すべての素数にわたるp進周期の系列である逐次周期—を導入する。Grothendieck周期予想のモチビック類似を定式化し、周期写像の単射性が特定のコホロロジー類の代数的性を示し、有限多重ゼータ値とpを法とするベルヌーイ数の関係と結びつける。

ABSTRACT

There is a notion of $p$-adic period coming from the crystalline Frobenius automorphism of the de Rham cohomology of an algebraic variety. In this paper, we consider sequences of $p$-adic periods, one for each prime. We study the sequences using motivic periods, and we formulate an analogue of the Grothendieck period conjecture.

研究の動機と目的

• de Rhamコホロロジー上のクリスタリン・フロベニウス作用から生じる逐次p進周期のモチビック理論を構築すること。
• 逐次周期の文脈において、Grothendieck周期予想の類似を予想的に定式化すること。
• 予想と既知の算術的現象（例：ベルヌーイ数の合同関係、有限多重ゼータ値の関係）との関連を確立すること。
• 予想がモチビック周期の構造および完成化された周期環上のガロア作用に与える影響を検討すること。

提案手法

• すべての大きな素数にわたるp進周期の系列をパrametrizeするため、環 $\mathcal{R} = \prod_p \mathbb{Q}_p / \bigoplus_p \mathbb{Q}_p$ を構成する。
• 各素数におけるクリスタリン・フロベニウスを符号化する、$H_{dR}(X) \otimes \mathcal{R}$ 上の $\mathcal{R}$-線形自己同型としての逐次フロベニウス写像 $F_{\mathcal{R},X}$ を定義する。
• モチビックde Rham周期をその $\mathcal{R}$-値実現に写す逐次周期写像 $\mathrm{per}_{\mathcal{R}}: \mathcal{P}^{\mathfrak{dr}} \to \mathcal{R}$ を導入する。
• 2つの予想を提示する：予想1（$\mathrm{per}_{\mathcal{R}}$ の単射性）および予想2（ホッジフィルトレーションのレベルに一致するフィルター埋め込み性質）。
• 混合Tateモチーフの圏 $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ および $\mathcal{MT}(\mathbb{Q})$ に予想を適用し、それらを有限多重ゼータ値およびベルヌーイ数と結びつける。
• Jarossayの公式とYasudaの結果を用いて、$\mathrm{per}_{\mathcal{R}}$ をMHS代数と関連づけ、有限MZVが $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ を法としてモチビック対称化MZVと同じ関係を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{R}$-値写像に符号化された、2つの逐次周期がいつ等しくなるか。
• RQ2 どの時点で逐次周期がすべての十分に大きな $p$ に対して $p^n$ で割り切れるか。これはどのようなモチビック構造を反映するか。
• RQ3 有限多重ゼータ値が満たす関係は何か。また、それらは $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ を法としてモチビック周期とどのように関係するか。
• RQ4 逐次周期写像の単射性は、コホロロジー類の代数的性とどのように関係するか。
• RQ5 $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ に対して予想2が真であれば、MHS代数上のガロア作用はどのように記述できるか。

主な発見

• 予想1から、すべての $p$ に対して $F_{p,X}(\alpha) = p^n \beta$ が成り立つ（有限個の例外を除く）ならば、$\alpha$ は代数的である。これは代数的サイクルに関する標準的予想を仮定したもとで成り立つ。
• 予想1から、定義3.1の公理を満たす任意のモチーフのTannakian圏に対して、Ogus実現が完全忠実埋め込みであることが導かれる。
• $\mathcal{MT}(\mathbb{Q})$ に対して予想2が成り立つならば、有限多重ゼータ値は、それらのモチビック類似が $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ を法として満たすすべての関係を満たす。
• 有限MZVが $\zeta^{\mathfrak{m}}(2)$ を法としてモチビック対称化MZVと正確に同じ関係を満たすのは、$\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ に対して予想2が成り立つときであり、かつそのときに限る。これは深い同値性を確立する。
• $\mathcal{MT}(\mathbb{Z})$ の $\widehat{\mathcal{R}}$-値周期の環は、MHS代数であり、$b_n \to \infty$ を満たす系列 $\sum_n a_n \mathbf{p}^{b_n} H_{\mathbf{p}-1}(\underline{\mathbf{s}}_n)$ として定義される。この環は、予想2の下で $\widehat{\mathcal{P}}^{\mathfrak{dr}}$ に引き上げられる。
• 大きな $p$ に対して $a_p \equiv b_p \mod p^n$ かどうか、または予想2が無限個の例外を含むかどうかを判定するためのアルゴリズム（実装付き）が提供されている。