[論文レビュー] Several Classes of Permutation Trinomials over $\mathbb F_{5^n}$ From Niho Exponents

Gaofei Wu, Nian Li|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上のNiho指数を用いて、$q = 5^k$ とすると、$\ufb01{F}_{q^2}$ 内の $(q+1)$-乗単位根の集合を置換する分数多項式を同定することにより、$\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上の新しいクラスの置換三項式を構成する。主な貢献は、根の置換に関する2つの予想の下で、$f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ の形の置換三項式の構成である。

ABSTRACT

The construction of permutation trinomials over finite fields attracts people's interest recently due to their simple form and some additional properties. Motivated by some results on the construction of permutation trinomials with Niho exponents, by constructing some new fractional polynomials that permute the set of the $(q+1)$-th roots of unity in $\mathbb F_{q^2}$, we present several classes of permutation trinomials with Niho exponents over $\mathbb F_{q^2}$, where $q=5^k$.

研究の動機と目的

• 有限体 $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上で代数的形が単純な新しい置換三項式のクラスを構成すること。
• 既知の置換多項式のクラスを、スパarselyで構造的な置換多項式を生成することが知られているNiho指数を用いて拡張すること。
• 置換多項式の構成と $(q+1)$-乗単位根の置換との関係を、補題2を用いて確立すること。
• 2つの分数多項式に関する予想を提示・分析し、それが真であれば新しい置換三項式の族が得られることを示すこと。
• $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上で特定の三項式形式が置換である条件についての未解決問題を特定すること。

提案手法

• 置換多項式 $f(x) = x^l g(x^{(q^2-1)/s})$ のための基準を提供する補題2を活用し、$\gcd(l, (q^2-1)/s) = 1$ かつ $x^l g(x)^{(q^2-1)/s}$ が $s$-乗単位根を置換することを要件とする。
• $q = 5^k$ とすると、$\ufb01{F}_{q^2}$ 内の $(q+1)$-乗単位根の集合 $\mu_{q+1}$ を置換する分数多項式 $g_1(x), g_2(x), \dots, g_{10}(x)$ を構成する。
• $\ufb01{F}_{q^2}$ から $\ufb01{F}_q$ へのトレース関数とノルム関数を用いて、特に ${{\rm Tr}}(x^d)$ と ${{\rm N}}(x)$ の三項式写像の挙動を分析する。
• 補題1で直接計算から得られる、$d = 2,3,4,8,9$ に対する ${{\rm Tr}}(x^d)$ と ${{\rm N}}(x)$ の代数的恒等式を適用する。
• 置換問題を、$\mu_{q+1}$ 上での有理関数 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ と $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$ の分析に還元し、予想に至る。
• 三項式 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ を、関連する $g(x)$ が $\mu_{q+1}$ 上でどのように作用するかを分析することで、補題2に適用可能な形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s + t = 0$ または $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ のとき、三項式 $f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} - x^{t(5^k-1)+1}$ が $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ を置換する条件は何か？
• RQ2 $s + t = \frac{5^k+1}{2}$ の条件下で、$f(x) = x + x^{s(5^k-1)+1} + x^{t(5^k-1)+1}$ が $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上で置換三項式となるのはいつか？
• RQ3 偶数の $k$ に対して、有理関数 $-x(\frac{x^2-2}{x^2+2})^2$ は $\ufb01{F}_{q^2}$ 内の $(q+1)$-乗単位根の集合を置換するか？
• RQ4 奇数の $k$ に対して、有理関数 $-x(\frac{x^2+2}{x^2-2})^2$ が $\mu_{q+1}$ を置換することを証明できるか？
• RQ5 $f(x) = x + \rho_1 x^{c_1(5^k-1)+1} + \rho_2 x^{c_2(5^k-1)+1}$ が $\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上で置換多項式であるための、指数 $c_1, c_2$ および係数 $\rho_1, \rho_2 \in \{1, -1\}$ の必要十分条件は何か？

主な発見

• 本稿では、$q = 5^k$ とすると、$\ufb01{F}_{q^2}$ 内の $(q+1)$-乗単位根の集合を置換する分数多項式を同定することにより、$\ufb01{F}_{5^{2k}}$ 上の新しい置換三項式のクラスを構成する。
• $q = 5^k$ のとき、$s = \frac{q+3}{4}$ とすると、関数 $g_1(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s - 2}{x^s + 2} \right)^2$ が $\mu_{q+1}$ を置換することを証明し、これにより新しい置換三項式のクラスが得られる。
• $s = \frac{q+1}{4}$ とすると、関数 $g_2(x) = -x^{\frac{q+1}{2}} \left( \frac{x^s + 2}{x^s - 2} \right)^2$ が $\mu_{q+1}$ を置換することを示し、これにより別の置換三項式のクラスが得られる。
• 予想1は、有理関数 $-r(\frac{r^2 - r + 2}{r^2 + r + 2})^2$（ただし $r = \frac{{\rm Tr}(x)^2}{{\rm N}(x)}$）が単射であると述べており、これが真であれば $f(x)$ から ${{\rm Tr}}(x)$ と ${{\rm N}}(x)$ が一意に特定され、置換を示唆する。
• 予想2は、偶数の $k$ に対して $-x(\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2})^2$ が $\mu_{q+1}$ を置換することを提案する。これが真であれば、指数 $s = \frac{q+2}{3} + 1$、$t = 2\cdot\frac{q+2}{3}$ の新しい置換三項式のクラスが得られる。
• 本稿では、予想2が成り立つならば、$f(x) = x - x^{s(q-1)+1} - x^{t(q-1)+1}$ が偶数の $k$ に対して $\ufb01{F}_{q^2}$ を置換することを、補題2と $\mu_{q+1}$ 上での $g_{10}(x)$ の変換により証明する。