[論文レビュー] Several special complex structures and their deformation properties

Sheng Rao, Quanting Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素多様体およびその無限小変形における複素微分形式の新しい拡張写像を導入し、Liu, Yang, Raoの拡張公式を一般化する。広い条件下でホッジ数の変形不変性を確立し、ケーラー族において、一般化されたファイバーのゴードゥシュォン錐の極限が中心ファイバーのゴードゥシュォン錐の閉包に含まれることを証明する。その応用として、モイシヘゾンおよびsGG多様体についても考察する。

ABSTRACT

We introduce a natural map from the space of pure-type complex differential forms on a complex manifold to the corresponding one on the infinitesimal deformations of this complex manifold. By use of this map, we generalize an extension formula in a recent work of K. Liu, X. Yang and the first author. As direct corollaries, we prove several deformation invariance theorems for Hodge numbers. Moreover, we also study the Gauduchon cone and its relation with the balanced cone in the Kähler case, and show that the limit of the Gauduchon cone in the sense of D. Popovici for a generic fiber in a Kählerian family is contained in the closure of the Gauduchon cone for this fiber.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の微分形式からその無限小変形上の形式へ写像を新たに定義し、変形理論における複素微分形式の拡張公式を一般化すること。
• 級数展開法を用いてホッジ数 $h^{p,q}_{\bar\epsilon_t}(X_t)$ および特殊ケース $h^{p,0}(X_t)$, $h^{0,q}(X_t)$ の変形不変定理を確立すること。
• ケーラーの場合におけるゴードゥシュォン錐 $\mathcal{G}_X$ とバランスド錐 $\mathcal{B}_X$ の関係を研究すること。
• ケーラー族におけるゴードゥシュォン錐の極限挙動を、特に中心ファイバーの錐の閉包と関連付けて調査すること。

提案手法

• 複素多様体上の純型微分形式の空間から、その無限小変形上の対応する空間への自然な写像を定義する。
• キーレイマ2.4を用いて、変形されたファイバー上の $\bar\partial_t$ 演算子の新しい公式を導出する：$\bar\partial_t f = e^{i_{\bar\varphi}} \big( (\mathds{1} - \bar\varphi\varphi)^{-1} \lrcorner (\bar\partial - \varphi \lrcorner \partial)f \big)$。
• 級数展開法を用いて、ホッジ数の変形不変性を再証明し、Kodaira-Spencerの安定性結果に類似した結果を得る。
• 電流理論とボット＝チエンコホモロジーを用いて、ケーラー多様体におけるゴードゥシュォン錐 $\mathcal{G}_X$ とバランスド錐 $\mathcal{B}_X$ の関係を分析する。
• バールェの解析的サイクル理論と極限の議論を用いて、$\tau \in \Delta_\epsilon \setminus \bigcup S_\nu$ に対して $\lim_{t\to\tau} \mathcal{G}_{X_t} \subseteq \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$ を示す。
• ケーラー構造の安定性と滑らかなケーラー計量 $\tilde{\alpha}_\delta(t)$ の存在を活用し、すべての $d$-閉で正の $(1,1)$-電流 $T$ に対して $\int_{X_\tau} \Omega \wedge T \geq 0$ が成り立つことを示し、$[\Omega]_A \in \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上の複素微分形式の拡張写像は、その無限小変形へと、コホモロジー構造を保つ形で拡張可能か？
• RQ2 級数展開法を用いて、一般設定下でホッジ数 $h^{p,q}_{\bar\partial_t}(X_t)$ の変形不変性を確立できるか？
• RQ3 ケーラーの場合におけるゴードゥシュォン錐 $\mathcal{G}_X$ とバランスド錐 $\mathcal{B}_X$ の関係は何か？
• RQ4 ケーラー族における一般化されたファイバーのゴードゥシュォン錐は、パラメータが中心ファイバーに近づく極限でどのように振る舞うか？
• RQ5 一般化されたファイバーのゴードゥシュォン錐の極限が、中心ファイバーのゴードゥシュォン錐の閉包に含まれる条件は何か？

主な発見

• 拡張写像はLiu, Yang, Raoの公式を一般化し、ホッジ数 $h^{p,q}_{\bar\partial_t}(X_t)$ の変形不変性を示す新しい級数展開法を可能にする。
• ホロモーフィックなケーラー族に対して、条件 $\overline{\mathcal{K}}_{X_\tau} = \mathcal{E}_{X_\tau}$ の下で $\lim_{t\to\tau} \mathcal{G}_{X_t} \subseteq \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$ が成り立つことを証明する。
• 中心ファイバー $X_\tau$ がネフな正接バンドルを持つ場合、この包含関係 $\lim_{t\to\tau} \mathcal{G}_{X_t} \subseteq \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$ が成り立つ。この場合、ネフ錐と擬効果的錐が一致するためである。
• 証明は、$d$-閉で正の $(1,1)$-電流を、$\alpha_\delta \geq -\delta \omega_\tau$ を満たす滑らかなボット＝チエンコホモロジー代表 $\alpha_\delta$ で近似し、ケーラー構造の安定性を用いてそれらを近傍のファイバーに持ち上げることに依拠する。
• $\int_{X_\tau} \Omega \wedge T \geq 0$ がすべての $d$-閉で正の $(1,1)$-電流 $T$ に対して成り立つことが示され、これにより命題4.11より $[\Omega]_A \in \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$ が得られる。
• この結果はポポビチの予想の重要な部分を確認する：中心ファイバーが $(0,1)$-ホッジ数の変形不変性、または強いゴードゥシュォン計量を備え、一般化されたファイバーが射影的であれば、中心ファイバーはモイシヘゾンである。