[論文レビュー] Sharp Stability and Optimal Order Error Analysis of the quasi-nonlocal approximation of unconstrained linear and circular chains in 2-D

Pavel Bělı́k, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元線形および円形原子鎖における準非局所近似の鋭い格子安定性および最適順序誤差解析を提示する。非線形性や結合角ポテンシャルを含めた場合、圧縮荷重下における格子安定性が向上することを示しており、これにより原子連続体結合モデルの精度と頑丈さが向上する。

ABSTRACT

The quasi-nonlocal approximation is a consistent method for coupling atomistic and Cauchy--Born continuum models. We give a sharp lattice stability and optimal order error analysis of the quasi-nonlocal approximation of linear and circular chains in 2-D. Our analysis allows general 2-D periodic perturbations that are not constrained to be collinear. Previous analyses of linear chains have shown that the quasi-nonlocal approximation reproduces the atomistic lattice stability for collinear perturbations. However, linear chains can undergo buckling instabilities under compression when non-collinear perturbations are allowed. We show that the Cauchy--Born approximation gives a finite increase in the lattice stability of a linear or circular chain under compression. We also analyze the increase of the lattice stability under compression when pair potential energies are augmented by bond-angle energies.

研究の動機と目的

• 一般の周期的摂動下における2次元線形および円形原子鎖における準非局所近似の格子安定性を分析すること。
• 従来の線形摂動に関する結果を拡張し、座屈を引き起こす可能性のある非線形変形を含める。
• 圧縮荷重下におけるカウチ＝ボーン近似が格子安定性をどの程度向上させるかを定量的に評価すること。
• 結合角エネルギー寄与が準非局所近似に与える安定化効果を調査すること。

提案手法

• 2次元における原子的モデルとカウチ＝ボーン連続体モデルを結合するため、準非局所近似を適用する。
• 変分法を用いて、線形および円形鎖の離散的系方程式を導出する。
• 一般の2次元周期的摂動下でのエネルギー汎関数のヘッセ行列を解析することで、鋭い安定性解析を実施する。
• 結合角項を含むペアポテンシャルエネルギーを導入し、その安定化効果を評価する。
• 漸近解析とエネルギー比較技術を用いて、最適順序誤差推定値を導出する。
• 線形および円形鎖の幾何形状を両方検討し、圧縮荷重下における安定性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形摂動下における2次元線形鎖において、準非局所近似は格子安定性にどのように影響するか？
• RQ2 2次元鎖において、カウチ＝ボーン近似は座屈の臨界圧縮力の増大をもたらすか？
• RQ3 結合角エネルギー項の影響は、準非局所近似の安定性にどのような効果をもたらすか？
• RQ4 2次元鎖における準非局所法のメッシュ細分化に伴う誤差推定値のスケーリングはどのようになるか？
• RQ5 準非局所法は、圧縮下における円形鎖の安定性挙動を正確に捉えることができるか？

主な発見

• 従来の結果と一致して、準非局所近似は線形摂動下では原子的格子安定性を保持する。
• 非線形摂動下では、線形鎖に座屈不安定性が生じるが、カウチ＝ボーン近似により臨界圧縮力が増大することでこれを緩和する。
• 圧縮荷重下において、カウチ＝ボーン近似は線形鎖および円形鎖の両方で有限の格子安定性の向上をもたらす。
• 結合角エネルギー項の導入により、準非局所近似の安定性がさらに向上する。
• 最適順序誤差推定値が確立され、この手法が原子的エネルギーおよび力の近似において精度が保証されることを確認した。
• 解析は線形変形に限定されず、一般の2次元周期的摂動に対しても有効である。