[論文レビュー] Simple and Near-Optimal Distributed Coloring for Sparse Graphs

Mohsen Ghaffari, Christiana Lymouri|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、木構造の複雑さ α にほぼ最適に比例する色数でスパースグラフを彩色する、シンプルな確率的分散アルゴリズムを提示する。H分割と反復的確率的色選択、および決定的完了処理を組み合わせることで、O(α)色を O(log n · min{log log n, log α}) ラウンドで達成し、理論的下界 Ω(logα n) ラウンドにほぼ一致する。

ABSTRACT

Graph coloring is one of the central problems in distributed graph algorithms. Much of the research on this topic has focused on coloring with $Δ+1$ colors, where $Δ$ denotes the maximum degree. Using $Δ+1$ colors may be unsatisfactory in sparse graphs, where not all nodes have such a high degree; it would be more desirable to use a number of colors that improves with sparsity. A standard measure that captures sparsity is arboricity, which is the smallest number of forests into which the edges of the graph can be partitioned. We present simple randomized distributed algorithms that, with high probability, color any $n$-node $α$-arboricity graph: - using $(2+\varepsilon)\cdot α$ colors, for constant $\varepsilon>0$, in $O(\log n)$ rounds, if $α= ildeΩ(\log n)$, or - using $O(α\log α)$ colors, in $O(\log n)$ rounds, or - using $O(α)$ colors, in $O(\log n \cdot \min\{\log\log n,\; \log α\})$ rounds. These algorithms are nearly-optimal, as it is known by results of Linial [FOCS'87] and Barenboim and Elkin [PODC'08] that coloring with $Θ(α)$ colors, or even poly$(α)$ colors, requires $Ω(\log_α n)$ rounds. The previously best-known $O(\log n)$-time result was a deterministic algorithm due to Barenboim and Elkin [PODC'08], which uses $Θ(α^2)$ colors. Barenboim and Elkin stated improving this number of colors as an open problem in their Distributed Graph Coloring Book.

研究の動機と目的

• Δ が大きくても木構造の複雑さ α が小さいスパースグラフにおいて、Δ+1 色彩色の非効率性を解消すること。
• グラフのスパarsity を木構造の複雑さ α で測定した場合に、色数が改善される分散アルゴリズムの開発。
• 近似的最適なラウンド複雑度と色数を達成し、既知の下界と従来の上界の差を埋めること。
• Barenboim と Elkin が提起した未解決問題である、O(log n) ラウンドで色数を O(α²) から O(α) に削減すること。

提案手法

• 局所的彩色を可能にするために、次数の上限 d ≤ (2 + ε/2)·α および ℓ = ⌈(1/ε) log n⌉ 層を持つ H 分割を構築する。
• 未彩色のノードが、(2+ε)·α のパレットからランダムに色を選択する反復的確率的手順を用いる。
• あるラウンドで隣接ノードが同じ色を選ばない場合、ノードはその色を永続的に確保し、競合のない割り当てを保証する。
• 残りのグラフに対して決定的完了フェーズを適用し、高確率で長さ O(log n) 以下のパスが存在しないことを保証する。
• 各ノードが高々 d 個の未彩色の出隣接ノードを持つことを利用し、少なくとも1つの色が利用可能であることを保証する。
• 確率的フェーズと決定的フェーズを組み合わせることで、O(log n · min{log log n, log α}) ラウンドの複雑度と O(α) 色を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフを O(α) 色で近似的最適な時間内に彩色できる分散アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 木構造の複雑さ α のグラフに対して、O(log n) ラウンドで色数を O(α²) から O(α) に削減することは可能か？
• RQ3 スパースグラフの分散彩色において、色数とラウンド複雑度のトレードオフをどのように達成できるか？
• RQ4 O(α) 色を達成するために必要な最小のラウンド複雑度は何か？ また、既知の下界にほぼ一致させられるか？
• RQ5 シンプルな確率的アプローチと決定的完了処理を組み合わせることで、分散彩色において近似的最適な結果を得られるか？

主な発見

• α = ~Ω(log n) の場合、アルゴリズムは O(log n) ラウンドで (2+ε)·α 色を達成し、色数の最良既知の結果と一致するが、ラウンド複雑度が向上する。
• 一般の α に対して、アルゴリズムは O(log n) ラウンドで O(α log α) 色を用い、従来の決定的 O(α²)-色アルゴリズムを改善する。
• 最良の状況下では、アルゴリズムは O(α) 色を O(log n · min{log log n, log α}) ラウンドで使用し、Ω(logα n) の下界にほぼ一致する。
• 確率的フェーズ終了後に任意のノードが未彩色のまま残る確率は d⁻² 以下であり、ノード間で独立している。
• 部分的彩色後の残りのグラフは高確率で長さ O(log n) 以下のパスしか持たず、効率的な決定的完了が可能である。
• 決定的完了フェーズは O(log n) ラウンドで完了する。各ノードは高々 O(log n) ラウンド待つだけで、隣接ノードの彩色が完了する。