[論文レビュー] Singular Hochschild cohomology and algebraic string operations

Manuel Rivera, Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホッフシュィルドチェーンとコチェーンを組み合わせた二重複体の非有界全複体として、タート・ホッフシュィルド複体を導入し、フロベニウス構造を用いてそれらを接続する。この複体が特異ホッフシュィルドコホモロジーを計算することを証明し、$A_\infty$-代数および$L_\infty$-代数構造を備え、コホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー代数をなしており、コンネスの境界写像を拡張するBV作用素を持つことを示す。

ABSTRACT

Given a differential graded (dg) symmetric Frobenius algebra $A$ we construct an unbounded complex $\mathcal{D}^{*}(A,A)$, called the Tate-Hochschild complex, which arises as a totalization of a double complex having Hochschild chains as negative columns and Hochschild cochains as non-negative columns. We prove that the complex $\mathcal{D}^*(A,A)$ computes the singular Hochschild cohomology of $A$. We construct a cyclic (or Calabi-Yau) $A$-infinity algebra structure, which extends the classical Hochschild cup and cap products, and an $L$-infinity algebra structure extending the classical Gerstenhaber bracket, on $\mathcal{D}^*(A,A)$. Moreover, we prove that the cohomology algebra $H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$ is a Batalin-Vilkovisky (BV) algebra with BV operator extending Connes' boundary operator. Finally, we show that if two Frobenius algebras are quasi-isomorphic as dg algebras then their Tate-Hochschild cohomologies are isomorphic and we use this invariance result to relate the Tate-Hochschild complex to string topology.

研究の動機と目的

• dg対称フロベニウス代数に対して特異ホッフシュィルドコホモロジーを計算する新しい非有界複体、すなわちタート・ホッフシュィルド複体を定義すること。
• カップ積、キャップ積、ゲルステンハーバー括弧といった古典的なホッフシュィルド作用素を、dg対称フロベニウス代数のチェーンレベルにおける高次代数的構造へ拡張すること。
• タート・ホッフシュィルド複体のコホモロジーが、コンネスの境界作用素を拡張するBV作用素を持つバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を有することを示すこと。
• 特異ホッフシュィルドコホモロジーが quasi-isomorphism に関して不変であることを確立し、ストリングトポロジーとの関係を可能にすること。

提案手法

• ホッフシュィルドチェーンを負の次数、コチェーンを非負の次数に持つ二重複体の全複体として、$\mathcal{D}^{*}(A,A)$ を構成する。
• フロベニウスペアリングを用いて、$\gamma: \mathcal{D}^{-1,*}(A,A) \to \mathcal{D}^{0,*}(A,A)$ を定義し、コプロダクト$\Delta$、積$\mu$、ブレーディング$T$ を用いてチェーンとコチェーンを接続する。
• 負の次数の列を$1-k$ずつシフトすることで、全微分が次数$+1$を持つようにし、適切に定義された非有界二重複体を構成する。
• 特異ホッフシュィルドコホモロジーの結合代数構造を、$A_\infty$-代数構造へ$\mathcal{D}^{*}(A,A)$ 上に持ち上げ、カップ積とキャップ積を拡張する。
• フロベニウス構造から導かれる高次作用素を用いて、ゲルステンハーバー括弧を拡張する$L_\infty$-代数構造を構成する。
• コホモロジー$H^*(\mathcal{D}^*(A,A))$が、コンネスの境界作用素を拡張するBV作用素を持つバタリン＝ヴィルコフスキー代数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ホッフシュィルドコホモロジーは、ホッフシュィルドチェーンとコチェーンを統合する単一の非有界複体を用いてどのように計算可能か？
• RQ2 dg対称フロベニウス代数に対して、古典的なホッフシュィルドカップ積およびキャップ積は、チェーンレベルにおける高次代数的構造へ拡張可能か？
• RQ3 特異ホッフシュィルド複体のコホモロジーはバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を持つのか？ もしそうならば、BV作用素はコンネスの境界作用素とどのように関係するか？
• RQ4 特異ホッフシュィルドコホモロジーは、dg代数の quasi-isomorphism に関してどの程度不変か？ そしてこれはストリングトポロジーとどのように関係するか？

主な発見

• ホッフシュィルドチェーンとコチェーンを含む二重複体の全複体として構成されたタート・ホッフシュィルド複体$\mathcal{D}^{*}(A,A)$は、dg対称フロベニウス代数$A$の特異ホッフシュィルドコホモロジーを計算する。
• $\mathcal{D}^{*}(A,A)$は、チェーンレベルでのホッフシュィルドカップ積およびキャップ積を拡張する自然な$A_\infty$-代数構造を備える。
• $\mathcal{D}^{*}(A,A)$上に、古典的なゲルステンハーバー括弧を拡張する$L_\infty$-代数構造が構成される。
• コホモロジー代数$H^*(\mathcal{D}^{*}(A,A))$は、コンネスの境界作用素を拡張するBV作用素を持つバタリン＝ヴィルコフスキー代数である。
• $A_n = C^*(S^n)$ の場合、特異ホッフシュィルドコホモロジーは$\mathbb{K}[x,x^{-1}] \otimes \Lambda[t]$ に同型であり、$|x| = 2(n-1)$、$|t| = 1$ であり、BV作用は$\widetilde{\Delta}(x^p \otimes t) = (2p+1)x^p \otimes 1$ で与えられる。
• 特異ホッフシュィルドコホモロジーはdg代数の quasi-isomorphism に関して不変であり、 simply-connected な多様体$M$に対して$H^*(LM)$ を通じてストリングトポロジーと結びつけることができる。