[論文レビュー] Singularities of theta divisors and the geometry of A_5

Gavril Farkas, Samuel Grushevsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 principally polarized abelian varieties (ppav) のtheta divisorの特異点を分析することにより、$Ø_5$ の幾何を研究する。Prym写像と Brill-Noether理論を用いて、theta divisorに非通常の二重特異点を持つppavの系列$H \subset \mathcal{A}_5$が2つのunirational成分を持つことを証明し、その Chow 環における類を $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$ として計算する。さらに、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の有理曲線を用いた明示的な幾何的記述がなされる。主な結果として、$\theta_{\mathrm{null}}^4$ のunirational性が、$|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上の$\mathbb{P}^5$-バンドルから$\mathcal{Q}_5$ への一般に有限な有理写像を構成することで得られる。本稿では、$H$ が $\mathcal{A}_g$ の codimension-two サイクルであることを確立し、$g=5$ の場合、$H$ は2つのunirational成分の和集合であり、$\overline{N_0'}$ は $\overline{\mathcal{A}_5}$ において最小のスロープを有する。研究では、$H$ がtheta divisorに非通常の二重特異点を持つppavの系列の閉包として特定され、$g=4$ では $\theta_{\mathrm{null}}^4 = H$ が成り立つことが証明される。

ABSTRACT

We study the codimension two locus H in A_g consisting of principally polarized abelian varieties whose theta divisor has a singularity that is not an ordinary double point. We compute the class of H in A_g for every g. For g=4, this turns out to be the locus of Jacobians with a vanishing theta-null. For g=5, via the Prym map we show that H in A_5 has two components, both unirational, which we completely describe. This gives a geometric classification of 5-dimensional ppav whose theta-divisor has a quadratic singularity of non-maximal rank. We then determine the slope of the effective cone of A_5 and show that the component N_0' of the Andreotti-Mayer divisor has minimal slope 54/7. Furthermore, the Iitaka dimension of the linear system corresponding to N_0' is submaximal.

研究の動機と目的

• ppavのtheta divisorに非通常の二重特異点を持つようなものからなる系列$H$ の codimension-two サイクル類 $[H] \in CH^2(\mathcal{A}_g)$ を計算すること。
• Prym写像 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ を用いて、特に分岐および反分岐除数を分析することにより、$H \subset \mathcal{A}_5$ の幾何を記述すること。
• $\theta_{\mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ がunirationalであることを、$|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上の$\mathbb{P}^5$-バンドルから$\mathcal{Q}_5$（2つのvanishing theta-nullをもつPrym曲線の系列）への一般に有限な有理写像を構成することで証明すること。
• $\overline{\mathcal{A}_5}$ の有効なコーンのスロープを決定し、Andreotti-Mayer除数の成分$\overline{N_0'}$ が最小のスロープを有することを示すこと。
• $g=4$ において、$\theta_{\mathrm{null}}^3 = H$ が集合的に成り立つことを確立し、vanishing theta-nullをもつJacobianの系列と$H$ が一致することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、universal family $\phi: \mathcal{X}_g \to \mathcal{A}_g$ を用い、$\mathcal{S} \subset \mathcal{X}_g$ をtheta divisorの特異点の集合と定義し、$\mathcal{S}_{\mathrm{null}}$、$\mathcal{S}'$、$\mathcal{S}_{\mathrm{dec}}$ に分解する。
• 非通常の二重特異点を持つppavの系列$H \subset \mathcal{A}_5$ を、theta関数のヘシアン条件を用いて$CH^2(\mathcal{A}_g)$ における類として計算する。
• Prym写像 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ を用いて、$H$ を分岐除数$\mathcal{Q}$ および反分岐除数$\mathcal{U}$ と関連づけ、$P^*(N_0') = 2\mathcal{Q} + \mathcal{U}$ を得る。
• $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(3,1)| \times |\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,3)|$ 上の$\mathbb{P}^5$-バンドルから$\mathcal{Q}_5$（2つのvanishing theta-nullをもつPrym曲線の系列）への有理写像$\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ を構成する。
• $C \to \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ へのcanonical map $\varphi_{(\theta_1,\theta_2)}$ の幾何を用いて、$C$ の像$\Gamma$ が線形系統$|\mathcal{I}^{2}_{R_1 \cdot R_2}(5,5)|$ に含まれることを示し、Bézoutの定理を用いて$R_1, R_2$ を$\Gamma$ から再構成する。
• $\mathcal{U}$ のunirational性から$\mathcal{Q}_5$ のunirational性が導かれ、有理写像$\psi$ が一般に有限かつ全射であることが示され、$\mathcal{Q}_5$ がunirationalであることが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ppavのtheta divisorに非通常の二重特異点を持つようなものからなるcodimension-two 系列$H \subset \mathcal{A}_g$ が Chow 環 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ においてどのようになるか。
• RQ2 Prym写像 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ は、$H \subset \mathcal{A}_5$ の幾何的構造をどのように記述するのだろうか。
• RQ3 $\theta_{\mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ はunirationalであるか。もしそうなら、どのような幾何的構成によって証明されるのか。
• RQ4 $\overline{\mathcal{A}_5}$ の有効なコーンのスロープは何か。また、Andreotti-Mayer除数の成分$\overline{N_0'}$ は最小のスロープを有するのか。
• RQ5 $\mathcal{A}_4$ における系列$H \subset \mathcal{A}_4$ は $\theta_{\mathrm{null}}^3$ と等しいか。この等式は集合的に成り立つか。

主な発見

• $H \subset \mathcal{A}_g$ のppavがtheta divisorに非通常の二重特異点を持つ系列の類は、$CH^2(\mathcal{A}_g)$ において $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$ として計算される。
• $g=4$ の場合、系列$H$ は集合的に $\theta_{\mathrm{null}}^3$ と一致し、vanishing theta-nullをもつJacobianの系列に一致する。
• $g=5$ の場合、$H \subset \mathcal{A}_5$ は2つの既約成分を持ち、両方ともunirationalである。また、$\theta_{\mathrm{null}}^4$ は、$|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上の$\mathbb{P}^5$-バンドルから$\mathcal{Q}_5$ への一般に有限な有理写像を介してunirationalである。
• $\overline{\mathcal{A}_5}$ のAndreotti-Mayer除数の成分$\overline{N_0'}$ は、$\overline{\mathcal{A}_5}$ の有効なコーンにおいて最小のスロープを有する。
• 有理写像$\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ は一般に有限かつ全射であり、$\mathcal{Q}_5$ がunirationalであることを示し、したがって $\theta_{\mathrm{null}}^4 = \overline{P(\mathcal{Q}_5)}$ もunirationalである。
• $H \subset \mathcal{A}_5$ は2つのunirational成分の和集合であり、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の有理曲線を用いた構成により、$H$ の完全な幾何的記述が得られる。