[論文レビュー] Smaller Circuits for Arbitrary n-qubit Diagonal Computations

Stephen S. Bullock, Igor L. Markov|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意のnキュービットの対角ユニタリに適用可能な再帰的で構成可能な量子回路合成アルゴリズムを提示する。この手法は、正確に$2^{n+1} - 3$個の制御-not（CNOT）ゲートと単一キュービットの$R_z$回転を用いて、漸近的に最適なゲート数を達成する。この方法により、従来の手法と比較して回路サイズが最大で2倍まで削減可能であり、目的のユニタリが単一キュービット$R_z$ゲートのテンソル積である場合には正確なキャンセレーションが可能となる。

ABSTRACT

A unitary operator U=\sum u_{j,k} |k> ; 0 <= j <= 2^n-1}. These relative phases are often required in applications. Constructing quantum circuits for diagonal computations using standard techniques requires either O(n^2 2^n) controlled-not gates and one-qubit Bloch sphere rotations or else O (n 2^n) such gates and a work qubit. This work provides a recursive, constructive procedure which inputs the matrix coefficients of U and outputs such a diagram containing 2^{n+1}-3 alternating controlled-not gates and one-qubit z-axis Bloch sphere rotations. Up to a factor of two, these circuits are the smallest possible. Moreover, should the computation U be a tensor of diagonal one-qubit computations of the form R_z(α)=e^{-i α/2}|0><0|+ e^{i α/2} |1><1|, then a cancellation of controlled-not gates reduces our circuit to that of an n-qubit tensor.

研究の動機と目的

• 任意のnキュービット対角ユニタリに適用可能な回路合成アルゴリズムを開発し、漸近的に最適なゲート数を達成すること。
• 対角操作のための量子回路において、制御-not（CNOT）ゲートと単一キュービット回転の数を最小化すること。
• 行列係数を入力とし、証明可能な最小ゲート数を持つ量子回路図を出力する再帰的で構成可能な手順を提供すること。
• 目的のユニタリが単一キュービット$R_z$ゲートのテンソル積である場合に、CNOTゲートの完全なキャンセレーションを可能にすること。
• 構築された回路が理論的最小サイズの2倍以内に収まるという理論的上限を確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、量子ビットインデックスの部分集合$S_j$を用いて定義される新たな基底状態$v_j$への基底変換に基づく再帰的分解を用いる。
• 対角ユニタリの位相ベクトル$\vec{\psi}$を$R_z$ゲートの角度を表すベクトル$\vec{\alpha}$に写像する行列$\mathbf{\eta}^\Lambda$を定義する。
• 行列$\mathbf{\eta}^\Lambda$の逆行列を一度計算し、複数の回路に再利用することで、任意の対角ユニタリに対する効率的な合成が可能になる。
• 制御-$R_z$ゲート$\Lambda_{S_j}[R_z(\alpha_j)]$を順次適用することで、入力ユニタリをより小さな対角行列のテンソル積に変換する。
• 得られるユニタリ$\tilde{U}$は2つの$n-1$キュービット対角行列のテンソル積となり、再帰的な回路合成が可能になる。
• 最終的な回路は、$R_z$ゲートとCNOTゲートの逆順の適用により構築され、ユニタリ不変性により正しさが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のnキュービット対角ユニタリに適用可能な再帰的量子回路合成アルゴリズムを構築でき、漸近的に最適なゲート数を達成できるか？
• RQ2 任意のnキュービット対角ユニタリを実装するために必要なCNOTゲートの最小数は何か？ そして、この上限に到達可能か？
• RQ3 CNOTゲートが回路内でキャンセルされる条件は何か？ そして、この性質を用いて回路の深さとサイズを低減できるか？
• RQ4 対角ユニタリの位相構造を、制御-$R_z$操作を用いてテンソル積形式に変換するにはどうすればよいか？
• RQ5 提案された回路構築法はパrameterの変動に対して安定しており、対角ユニタリ群内での合成について閉じているか？

主な発見

• アルゴリズムは、正確に$2^{n+1} - 3$個の交互に配置されたCNOTゲートと$n$個の単一キュービット$R_z$回転を用いて回路を構築し、2倍の要因以内に漸近的に最適なゲート数を達成する。
• ゲート数は、一般の対角ユニタリに対して$\Omega(2^n)$個のCNOTゲートが不可欠であるため、最適性の意味で最小である。
• 目的のユニタリが単一キュービット$R_z$ゲートのテンソル積である場合、CNOTゲートは完全にキャンセルされ、出力回路は入力と正確に一致する。
• 行列$\mathbf{\eta}^\Lambda$は正則であるため、すべての対角ユニタリが制御-$R_z$ゲートとより小さな対角ユニタリへの一意な分解が可能である。
• アルゴリズムは安定している：$R_z$および$R_y$ゲートのパrameterの変動に対しても、中間および最終の回路はすべて対角ユニタリの群に留まる。
• 構築法は再帰的かつ一般性を有し、位相ベクトル$\vec{\psi}$で指定される任意の$n$キュービット対角ユニタリに適用可能であり、再利用可能な逆行列$({\bf \eta}^\Lambda)^{-1}$を備えている。