[論文レビュー] Socially stable matchings in the Hospitals / Residents problem

Georgios Askalidis, Nicole Immorlica+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、社会的安定性を考慮した病院・住民問題（HRSS）を導入する。ここで、ブロッキングペアは社会的ネットワークのつながりによって制限されており、既存の社会的つながりを持つペアのみがマッチングをブロックできる。最大社会的安定マッチングを求める問題はNP困難であるが、3/2近似可能であり、知り合いペアが少ないインスタンスに対しては固定パrameter可 tractable（FPT）なアルゴリズムが提供されている。

ABSTRACT

In the Hospitals/Residents (HR) problem, agents are partitioned into hospitals and residents. Each agent wishes to be matched to an agent in the other set and has a strict preference over these potential matches. A matching is stable if there are no blocking pairs, i.e., no pair of agents that prefer each other to their assigned matches. Such a situation is undesirable as it could lead to a deviation in which the blocking pair form a private arrangement outside the matching. This however assumes that the blocking pair have social ties or communication channels to facilitate the deviation. Relaxing the stability definition to take account of the potential lack of social ties between agents can yield larger stable matchings. In this paper, we define the Hospitals/Residents problem under Social Stability (HRSS) which takes into account social ties between agents by introducing a social network graph to the HR problem. Edges in the social network graph correspond to resident-hospital pairs in the HR instance that know one another. Pairs that do not have corresponding edges in the social network graph can belong to a matching M but they can never block M. Relative to a relaxed stability definition for HRSS, called social stability, we show that socially stable matchings can have different sizes and the problem of finding a maximum socially stable matching is NP-hard, though approximable within 3/2. Furthermore we give polynomial time algorithms for three special cases of the problem.

研究の動機と目的

• 社会的つながりがブロッキングペアの発生に必要となる現実世界の設定において、従来の安定マッチングが抱える制限を解消すること。
• 社会的ネットワーク構造を病院・住民問題に組み込む新しい安定性概念「社会的安定性」を形式化すること。
• この新しいモデル下での最大社会的安定マッチングを求める計算複雑性を調査すること。
• 特に知り合いペアの数が少ない場合に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 社会的安定マッチングの構造的・アルゴリズム的性質（近似可能性、固定パrameter可 tractability など）を調査すること。

提案手法

• 標準的なHRインスタンスに社会的ネットワークグラフを追加することでHRSS問題をモデル化し、エッジは住民と病院間の既存の社会的つながりを表す。
• 社会的ブロッキングペアを、互いに現在のマッチングよりも好むが、社会的ネットワークグラフ上でつながっている住民・病院ペアとして定義する。
• 社会的安定性の概念を導入：社会的ブロッキングペアが存在しないマッチングを社会的安定と定義する。
• 既知のNP困難問題への還元を用いて、最大社会的安定マッチングを求める問題がNP困難であることを証明する。
• 変換されたグラフにおける最大重みマッチングと基数増強に基づく、3/2近似アルゴリズムを提案する。
• 知り合いペアの数が定数kで抑えられるインスタンスに対しては、O(2^k)個のリーフノードを持つ意思決定木を用いたパスベース探索により、固定パrameter可 tractable（FPT）なアルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エージェント間の社会的つながりを考慮した緩和された安定性概念は、従来の安定性よりも大きなマッチングを達成できるか？
• RQ2 HRSSモデル下で最大社会的安定マッチングを求める問題の計算複雑性は何か？
• RQ3 最大社会的安定マッチングを定数倍の近似で求められるか？
• RQ4 知り合いペアの数が少ない場合に、HRSSに対して固定パrameter可 tractableなアルゴリズムを開発できるか？
• RQ5 社会的安定マッチングの構造は、古典的HRにおける標準的安定マッチングの構造とどのように異なるか？

主な発見

• HRSSにおける最大社会的安定マッチングを求める問題は、社会的ネットワークが疎であってもNP困難である。
• 最大社会的安定マッチング問題に対して3/2近似アルゴリズムが存在し、定数倍の保証が得られる。
• 知り合いペアの数が定数kで抑えられる場合、固定パrameter可 tractableなアルゴリズムにより、O(c_max * m * sqrt(n_1 + C)) 時間で最大社会的安定マッチングが計算可能である。
• 知り合いペアの数が定数であるインスタンスでは、このアルゴリズムは多項式時間で実行可能であり、小規模または構造的特徴を持つHRSSインスタンスに対して効率的である。
• 知り合いペアの数ではなく、知り合いでないペアの数が定数で抑えられる場合でも、問題は依然としてNP困難であるため、一般ケースには本質的な複雑性が内在している。
• 社会的安定マッチングの集合のサイズは変動し得る。また、古典的HRにおける安定マッチングのラティスのような構造的特徴は、社会的安定マッチングには知られていない。