[論文レビュー] Solitons on Noncommutative Torus as Elliptic Algebras and Elliptic Models

Bo-Yu Hou, Dan-Tao Peng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ソリトン位置のテータ関数を用いて非可換トーラス上にソリトン解を構成し、その結果として得られる代数が $ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群と同型であることを示している。非可換ソリトン力学と可積分モデルの間の対応関係は、楕円的量子群とルイゼナールス・シュナイダー作用素を通じて確立され、固有関数はクロッシングパラメータ $η$ によってねじれられる。主な貢献は、楕円的代数による非可換ソリトンの明示的実現と、可積分系への埋め込みである。

ABSTRACT

For the noncommutative torus ${\cal T}$, in case of the N.C. parameter $θ= \frac{Z}{n}$ and the area of ${\cal T}$ is an integer, we construct the basis of Hilbert space ${\cal H}_n$ in terms of $θ$ functions of the positions $z_i$ of $n$ solitons. The loop wrapping around the torus generates the algebra ${\cal A}_n$. We show that ${\cal A}_n$ is isomorphic to the $Z_n imes Z_n$ Heisenberg group on $θ$ functions. We find the explicit form for the local operators, which is the generators $g$ of an elliptic $su(n)$, and transforms covariantly by the global gauge transformation of the Wilson loop in ${\cal A}_n$. By acting on ${\cal H}_n$ we establish the isomorphism of ${\cal A}_n$ and $g$. Then it is easy to give the projection operators corresponding to the solitons and the ABS construction for generating solitons. We embed this $g$ into the $L$-matrix of the elliptic Gaudin and C.M. models to give the dynamics. For $θ$ generic case, we introduce the crossing parameter $η$ related with $θ$ and the modulus of ${\cal T}$. The dynamics of solitons is determined by the transfer matrix $T$ of the elliptic quantum group ${\cal A}_{τ, η}$, equivalently by the elliptic Ruijsenaars operators $M$. The eigenfunctions of $T$ found by Bethe ansatz appears to be twisted by $η$.

研究の動機と目的

• 有理数 $\theta = Z/n$ および整数面積の下で、ソリトン位置のテータ関数を用いて非可換トーラス上に明示的なソリトン解を構成すること。
• $n$ 重オルビフォールド化されたトーラス上のウィルスンループによって生成される代数が、テータ関数に作用する $ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群と同型であることを示すこと。
• 局所的共変微分作用素を、グローバルゲージ変換に対して共変に変換する楕円的 $su(n)$ 代数の生成子として実現すること。
• ソリトン力学を楕円的 Gaudin および Calogero-Moser モデルの $L$-行列に埋め込むことにより、非可換ソリトンと既知の可積分系との関連を確立すること。
• 一般の $\theta$ に一般化するためクロッシングパラメータ $η$ を導入し、その動的性質が楕円的量子群 $\mathcal{A}_{\tau,\eta}$ の転送行列 $T$ と関連し、ルイゼナールス作用素と結びつくこと。

提案手法

• $n$ 個のソリトン位置 $z_i$ のテータ関数を用いて Hilbert 空間 $\mathcal{H}_n$ を構成し、$n$ 重オルビフォールド化された非可換トーラス $\mathcal{T}_n$ の基底を形成する。
• $\mathcal{A}_n$ をウィルスンループ $W_i = U_i^{1/n}$ によって生成される $ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群として定義し、それがテータ関数基底に作用することを示す。
• 局所的作用素 $E_\alpha$ を微分作用素として特定し、それがグローバルゲージ変換の下で共変に変換する楕円的 $su(n)$ 代数を生成することを示す。
• $\mathcal{H}_n$ 上での作用を通じて $\mathcal{A}_n$ と $su(n)$ 生成子 $g$ の間の同型を確立し、これにより射影作用素と ABS 構成によるソリトン生成が可能になる。
• 一般の $\theta$ に対しては、$\theta$ とトーラスモジュラスに関連するクロッシングパラメータ $η$ を導入し、動的性質が楕円的量子群 $\mathcal{A}_{\tau,\eta}$ の転送行列 $T$ と関連することを示す。
• ベーテのアンザッツを用いて $T$ の固有関数を求め、それらが $η$ によってねじれられることを示し、非可換ウィルスンループ作用の下で波動関数が位相シフト $e^{\zeta_i \eta}$ を受けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数 $\theta = Z/n$ の下で、ソリトン位置のテータ関数を用いて非可換トーラス上にソリトン解を明示的に構成する方法は何か？
• RQ2 $n$ 重オルビフォールド化された非可換トーラス上のウィルスンループ作用素によって生じる代数的構造は何か？ そしてそれは $ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群とどのように関係するか？
• RQ3 非可換トーラス上の局所的共変微分作用素は、どのように楕円的 $su(n)$ 代数を実現し、グローバルゲージ対称性の下で変換するか？
• RQ4 非可換ソリトンの力学を、楕円的 Gaudin や Calogero-Moser システムなどの可積分系にどのように埋め込むことができるか？
• RQ5 クロッシングパラメータ $η$ は、一般の $\theta$ への一般化において果たす役割は何か？ また、それは転送行列の固有関数および波動関数の構造にどのように影響するか？

主な発見

• $\mathcal{H}_n$ は、$n$ 個のソリトン位置 $z_i$ のテータ関数を用いて明示的に構成され、$ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群の作用に関して不変な基底を形成する。
• $\mathcal{T}_n$ 上のウィルスンループによって生成される代数 $\mathcal{A}_n$ は、テータ関数基底に作用する $ℚ_n \times ℚ_n$ ハイゼンベルク群と同型である。
• 局所的作用素 $E_\alpha$ は、グローバルゲージ変換の下で共変に変換する微分作用素として実現され、楕円的 $su(n)$ 代数を生成する。
• $\mathcal{H}_n$ 上での作用を通じて $\mathcal{A}_n$ と $su(n)$ 生成子 $g$ の間の同型が確立され、これにより射影作用素と ABS 操作子を用いたソリトン生成が可能になる。
• 一般の $\theta$ に対しては、動的性質が楕円的量子群 $\mathcal{A}_{\tau,\eta}$ の転送行列 $T$ によって支配され、ベーテのアンザッツにより固有関数が得られ、$η$ によってねじれ、非可換ウィルスンループ作用の下で位相シフト $e^{\zeta_i \eta}$ を受ける。
• 波動関数は $\psi = \prod_i e^{\zeta_i \lambda_i} \prod_{j=1}^n \theta(\lambda_i + t_j - \eta)$ の形を取り、非可換平行移動の下で非自明なねじれを示し、$\eta = (l + m\tau)/n$ かつ $\nu = Z/n$ のとき、有限次元の巡回的表現を許容する。