[論文レビュー] Noncommutative Solitons on Orbifolds

Emil J. Martinec, Gregory W. Moore|ArXiv.org|Jan 29, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 65被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学を用いて非可換軌道空間上のD-braneを記述するフレームワークを確立し、D-braneが交叉積 $C^*$-代数 ${\cal A} \rtimes G$ 内の射影作用素または部分等長写像として現れることを示している。主な貢献は、${\bb R}^n/G$、${\bb T}^n$、および ${\bb T}^n/G$ 上のソリトン的D-braneを体系的に構成したことであり、非可換場の理論におけるD-braneの代数的記述を拡張したもので、K理論およびチャーン・シモンズカップリングへの応用を含む。

ABSTRACT

In the noncommutative field theory of open strings in a B-field, D-branes arise as solitons described as projection operators or partial isometries in a $C^*$ algebra. We discuss how D-branes on orbifolds fit naturally into this algebraic framework, through the examples of $R^n/G$, $T^n=R^n/Z^n$, and $T^n/G$. We also propose a framework for formulating D-branes on asymmetric orbifolds.

研究の動機と目的

• 平坦な非可換空間から軌道空間へのD-braneの非可換ソリトンとしての記述を一般化すること。
• 非可換幾何学および $C^*$-代数の枠組み内で、対称的および非対称的軌道空間上のD-braneを定式化すること。
• ${\bb R}^n/G$、${\bb T}^n$、および ${\bb T}^n/G$ 上のD-braneに対して、交叉積代数 ${\cal A} \rtimes G$ を用いて明示的な射影作用素および部分等長写像を構成すること。
• 軌道空間上のD-braneの位相的不変量が非可換微分幾何学における循環コホホロジーおよびチャーン特徴類とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 被覆空間上の関数の代数 ${\cal A}$ を用いて、軌道空間 ${\cal Y}/G$ の非可換幾何を記述するため、交叉積代数 ${\cal A} \rtimes G$ を用いる。
• D-braneソリトンを、平坦空間 ${\bb R}^d$ の場合を一般化して、交叉積代数内の射影作用素または部分等長写像として構成する。
• 群 $G$ の表現論を用いて、非可換幾何の代数的枠組みでD-braneを分類する。
• コンネスの非可換微分幾何学におけるチャーン特徴類を用いて、D-braneの電荷とチャーン・シモンズカップリングを関連付ける。
• D-braneの位相的不変量を測るため、交叉積代数に対して循環コホホロジーを定義する。
• モジュラー変換およびナラインコン팩ト化を用いて、軌道空間射影下でのナラインモジュライ空間内のずれを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 $C^*$-代数を用いて、非可換軌道空間上のD-braneを体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 交叉積代数 ${\cal A} \rtimes G$ は、軌道空間上のD-braneソリトンをどのように符号化するか？
• RQ3 非可換設定下で、軌道空間上の分数 brane は、群 $G$ の正則表現の分解からどのように生じるか？
• RQ4 非可換幾何学における循環コホホロジーは、軌道空間上のD-braneの位相的不変量をどのように捉えているか？
• RQ5 D-braneの非可換記述は、K理論およびチャーン・シモンズカップリングとどのように関係するか？

主な発見

• 非可換軌道空間 ${\bb R}^n/G$、${\bb T}^n$、および ${\bb T}^n/G$ 上のD-braneは、交叉積 $C^*$-代数 ${\cal A} \rtimes G$ 内の射影作用素または部分等長写像として記述され、平坦空間の構成を一般化している。
• 軌道空間上のD-braneソリトンの構成は、交叉積の $G$-不変部分代数をとることによって達成され、弦理論の制約と整合的であることが保証される。
• 軌道空間上の分数 brane は、群 $G$ の正則表現の分解から生じ、その電荷は $G$ の既約表現によって分類される。
• 非可換幾何学におけるチャーン特徴類は、有効場理論におけるD-brane電荷とチャーン・シモンズカップリングとの直接的な関係を提供する。
• シフト軌道空間の構成により、元の格子 $L$ に対して有理数的 $O(d,d)$ 変換 $S$ によって関係づけられる新しい偶数ユニモジュラー格子 $L'$ が得られ、$L' = S L$ であり、新しいナラインモジュライ空間の点は $\mathbf{E}' = S \mathbf{E}$ で与えられる。
• シフト $v = \frac{1}{N} v^a f_a$ の場合、得られる格子構造は $\bar{e}^a = s^a_{~{}~{}b} e^b$ および $\bar{f}_a = (s^{t,-1})_a^{~{}b} f_b$ で張られ、1次元の場合には円の半径が $s = \frac{(N,b)}{(N,a)}$ にスケーリングされる。