[論文レビュー] Solving Quadratic Unconstrained Binary Optimization with divide-and-conquer and quantum algorithms

Gian Giacomo Guerreschi|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用数 17

ひとこと要約

本論文では、コミュニティ検出と変数削減を活用して、QUBO問題のサイズを縮小する分割統治的手法を提案している。この手法により、元のQUBO問題はより小さな多項式非制約バイナリ最適化（PUBO）インスタンスに変換され、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）と組み合わせることで、ランダムな3正則グラフにおけるMax-Cut問題に対して必要な量子ビット数を約42%削減し、解の品質も向上する。一方、古典的ソルバーはこの再定式化の恩恵を受けることはない。

ABSTRACT

Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO) is a broad class of optimization problems with many practical applications. To solve its hard instances in an exact way, known classical algorithms require exponential time and several approximate methods have been devised to reduce such cost. With the growing maturity of quantum computing, quantum algorithms have been proposed to speed up the solution by using either quantum annealers or universal quantum computers. Here we apply the divide-and-conquer approach to reduce the original problem to a collection of smaller problems whose solutions can be assembled to form a single Polynomial Binary Unconstrained Optimization instance with fewer variables. This technique can be applied to any QUBO instance and leads to either an all-classical or a hybrid quantum-classical approach. When quantum heuristics like the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) are used, our proposal leads to a double advantage: a substantial reduction of quantum resources, specifically an average of ~42% fewer qubits to solve MaxCut on random 3-regular graphs, together with an improvement in the quality of the approximate solutions reached.

研究の動機と目的

• NP-hardであり、通常は正確な解法に指数時間が必要な困難なQUBO問題の計算複雑性を低減すること。
• 近い将来の量子コンピュータにおける量子ビット制限を軽減し、QUBO問題を解くために必要な量子ビット数を削減すること。
• 分割統治によるQUBOからPUBOへの再定式化が、QAOAのような量子ヒューリスティクスを用いた際の性能向上に寄与するかどうかを検討すること。
• 縮小されたPUBOインスタンスが、特にハイブリッド量子-古典的ワークフローにおいて、量子ソルバーや古典的ソルバーに適しているかどうかを評価すること。

提案手法

• コミュニティ検出アルゴリズムを用いて、元のQUBOグラフを部分グラフに分割し、独立した最適化サブプロブレムに分解可能にする。
• 各サブグラフ内で変数を統合するための新規な変数削減技術を用い、元のQUBOを変数数の少ないPUBOインスタンスに変換する。
• k体相互作用を2^{k-1}個の重み付き節にマッピングする体系的な変換を用いて、得られたPUBOをMax-SATインスタンスに再定式化する。
• 変分的性質を活かして高次多項式項を扱えるように、QAOAを縮小されたPUBOインスタンスに適応する。
• QAOAハミルトニアンの係数を効率的に計算するために、高速ウォルシュ＝ハダマール変換を用いる。これにより、効率的な量子回路構築が可能になる。
• すべて古典的またはハイブリッド量子-古典的パイプラインに本手法を統合し、後者では近似品質における量子の優位性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コミュニティ検出に基づく分割統治戦略は、計算の難易度を増加させることなく、QUBO問題の変数数を削減できるか？
• RQ2 変数削減を用いてQUBOをPUBOに変換することで、QAOAのような量子ヒューリスティクスの性能が向上するか？
• RQ3 量子ビット数の削減が十分に顕著であるため、従来では実行不可能とされていたQUBO問題が近い将来の量子デバイスで解けるようになるか？
• RQ4 なぜ再定式化されたPUBOインスタンスはQAOAの性能を向上させるが、akmaxsatのような古典的正確ソルバーには向上しないのか？
• RQ5 QUBOからPUBOへの変換は、古典的前処理のオーバーヘッドを最小限に抑えつつ、効率的かつスケーラブルに実装可能か？

主な発見

• QAOAを用いた場合、ランダムな3正則グラフにおけるMax-Cut問題に対して、分割統治手法により変数数が約42%削減された。
• 4正則グラフでは、変数の削減率が約22%に達し、異なるグラフタイプにわたるスケーラビリティが示された。
• 再定式化されたPUBOインスタンスは、akmaxsatのような古典的正確ソルバーでは性能向上を示さないため、その利点は量子ヒューリスティクスに特有であることが示された。
• QAOAは縮小されたPUBOインスタンスに対してより優れた近似解を達成しており、変換が量子アルゴリズムの有効性を高めていることが示唆された。
• 本手法により、量子リソースが大幅に削減されたハイブリッド量子-古典的ワークフローが可能となり、現在のノイジィな中規模量子（NISQ）デバイスでもより大きなQUBO問題が扱えるようになった。
• 重み付き節によるQUBOからSATへの変換は、目的関数値に一定のオフセットを加えるが、Max-SATソルバーへの忠実なマッピングを可能にし、古典的検証が可能になった。