[論文レビュー] Solving the Hubbard model using density matrix embedding theory and the variational quantum eigensolver

Lana Mineh, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 50被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、密度行列埋め込み理論（DMET）と変分量子固有状態ソルバ（VQE）を組み合わせたハイブリッド量子古典的アプローチを提案し、近い将来の量子コンピュータ上で Hubbard モデルを解く。DMET を用いて全格子系の問題をより小さな埋め込みハミルトニアンに写像することで、量子ビットの要件を削減しつつ、VQE を用いて基底状態エネルギーと観測可能量の高精度な計算を可能にした。数値シミュレーションでは最大 16 ビットで高い忠実度の結果が得られた。

ABSTRACT

Calculating the ground state properties of a Hamiltonian can be mapped to the problem of finding the ground state of a smaller Hamiltonian through the use of embedding methods. These embedding techniques have the ability to drastically reduce the problem size, and hence the number of qubits required when running on a quantum computer. However, the embedding process can produce a relatively complicated Hamiltonian, leading to a more complex quantum algorithm. In this paper we carry out a detailed study into how density matrix embedding theory (DMET) could be implemented on a quantum computer to solve the Hubbard model. We consider the variational quantum eigensolver (VQE) as the solver for the embedded Hamiltonian within the DMET algorithm. We derive the exact form of the embedded Hamiltonian and use it to construct efficient ansatz circuits and measurement schemes. We conduct detailed numerical simulations up to 16 qubits, the largest to date, for a range of Hubbard model parameters and find that the combination of DMET and VQE is effective for reproducing ground state properties of the model.

研究の動機と目的

• 埋め込み技術を用いて Hubbard モデルを解くスケーラブルな量子アルゴリズムの開発。
• 基底状態エネルギーと観測可能量の計算を、VQE アルゴリズムを介して量子コンピュータ上で DMET を実装すること。
• 埋め込みハミルトニアンの量子回路複雑度を分析し、アーサンツ設計と測定手順を最適化すること。
• さまざまなフラグメントサイズと Hubbard モデルのパrameter における、DMET-VQE アプローチの正確性とスケーラビリティを評価すること。
• 実装の実用的側面を踏まえた回路深さと測定ラウンドの詳細な複雑度分析を提供すること。

提案手法

• 全 Hubbard モデルのハミルトニアンを、フラグメントサイズ Nfrag に依存する 4Nfrag ビットのより小さな埋め込みハミルトニアンに、シングルショット DMET を用いて写像する。
• フラグメントとバスの間の相互作用を含む、埋め込みハミルトニアンの正確な形を導出することで、高精度な量子回路構築を可能にする。
• フェルミオン的スワップネットワークを用いて、エンタングルゲートを効率的に実装し、回路深さを短縮するハミルトニアン変分（HV）アーサンツを採用する。
• パウリ項をグループ化し、対称性を活用することで、回路準備回数を最小限に抑える測定スキームを設計する。
• 現実の NISQ デバイスの制約を再現するため、統計的ノイズを考慮した測定プロトコルを適用する。
• 正確な対角化ベンチマークを用いた数値シミュレーションにより、VQE の性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DMET と VQE を組み合わせることで、1次元および2次元 Hubbard モデルの基底状態特性が、実際の量子ハードウェア上で正確に再現可能か？
• RQ2 フラグメントサイズと系の次元数に応じて、2キュービットゲートの深さと回路準備回数で測定される量子回路複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 統計的ノイズが、埋め込み DMET フレームワークにおける VQE の収束性と観測可能量の正確性に与える影響は何か？
• RQ4 フェルミオン的スワップネットワークは、埋め込み系における VQE アーサンツ実装の効率をどのように向上させるか？
• RQ5 リソース効率と正確性の観点から、DMET-VQE アプローチは直接切断手法をどの程度上回るか？

主な発見

• DMET-VQE アプローチは、正確な対角化と Bete ansatz 解と一致する高精度な基底状態エネルギーと観測可能量を再現した。
• 4×4 フラグメント（16 ビット）の場合、アーサンツは1層あたり2キュービットゲート深さ 30、全ハミルトニアン項を測定するための回路準備 32 回を要した。
• 測定における統計的ノイズが存在しても、正確な結果が得られ、現実の NISQ 条件下でも頑健であることが示された。
• 回路深さと測定コストは、直接切断手法よりもフラグメントサイズに伴い急激に増加する—例えば 4×8 Hubbard モデルでは深さ 9、準備回数 5 で十分だった。
• フェルミオン的スワップネットワークにより、アーサンツ実装が効率化され、より大きなフラグメントにおけるスケーラビリティが向上した。
• 本研究は、DMET と VQE を組み合わせた量子回路複雑度分析の最初の包括的分析を提供し、将来のハードウェア実装に向けた実用的ガイドラインを提示した。