[論文レビュー] Some geometric equivariant cohomology theories

Haggai Tene|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分岐多様体を用いた幾何的構成により、G-equivariantコホモロジー理論を定義し、逆(双)ホモロジー理論と呼ばれる新理論を導入することで、Poincaré双対性を確立する。この理論は、分岐多様体Tate(双)ホモロジーを、両者を統合する相対的理論として定義し、特にG=S^3の場合にLBGのコホモロジーにおけるカップ積の明示的計算を幾何的代表元を用いて行う。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of the Borel equivariant (co)homology for spaces with a $G$-action, where $G$ is a compact Lie group with the property that the adjoint representation is orientable. A nice feature of these constructions is that there are corresponding Poincaré dual (co)homology theories called backwards (co)homology. This gives rise to a third relative (co)homology theory which we call stratifold Tate (co)homology. These Tate groups agree with the original definition of Tate cohomology for finite groups given by Swan. All constructions in this paper are geometric and use stratifolds. One advantage of this description is that elements in these groups can be described concretely by representatives. We give some examples of that.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群Gに対して、随伴表現が向き付け可能である場合に、Borelの方法とは異なり、バージョンのコホモロジー理論をバージョンのバージョンの方法に基づいて幾何的に構成すること。
• G-equivariant分岐多様体(双)ホモロジーのPoincaré双対としての逆(双)ホモロジー理論を導入すること。
• 自然変換を介して、両者を統合する相対的理論として、分岐多様体Tate(双)ホモロジーを定義すること。
• コホモロジー類の幾何的代表元を明示的に定義し、特にLBGに対して、バージョンコホモロジーにおける積を計算すること。
• G=S^3の場合のLBGのコホモロジーにおける積構造を計算することで、幾何的アプローチの有効性を示すこと。

提案手法

• G-多様体へのG-分岐多様体からのバージョンの写像のバージョンの同値類を用いて、G-equivariant分岐多様体ホモロジーおよびコホモロジーを構成する。
• コンパクトな分岐多様体（ホモロジー）と適切なFredholm写像（コホモロジー）の間の双対性を用いて、逆(双)ホモロジー理論をPoincaré双対理論として定義する。
• 逆コホモロジーとG-equivariant分岐多様体コホモロジーの間の自然変換を用いて、相対的理論として分岐多様体Tate(双)ホモロジーを定義する。
• ホモトピー同値 G^{ad} ×_G EG ≃ LBG を用いて、H*(LBG) を H*_G(G^{ad}) と同一視し、幾何的構造を移行する。
• 分岐多様体フレームワークにおけるPoincaré双対性を応用し、逆ホモロジーにおける代表元の合成によりコホモロジーにおけるカップ積を構成する。
• 群の乗法 μ: G^{ad} × G^{ad} → G^{ad} を用いて、逆ホモロジーにおける積を誘導し、その後双対化することでコホモロジーにおけるカップ積を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-equivariant(双)ホモロジー理論を、特異ホモロジーとは異なり、分岐多様体を用いた幾何的構成でどのように行えるか？
• RQ2 G-equivariant設定におけるPoincaré双対性の幾何的意味は何か？ また、双対理論を用いてどのように実現できるか？
• RQ3 Tate(双)ホモロジー群を、G-equivariant分岐多様体ホモロジーと逆(双)ホモロジーを統合する相対的理論として、幾何的にどのように定義できるか？
• RQ4 G=S^3の場合に、H*(LBG)におけるカップ積の明示的幾何的記述は何か？ また、G-equivariantコホモロジーにおける積とどのように関係するか？
• RQ5 Umkehr写像を用いて定義される既知のLBGコホモロジーの積構造を、幾何的アプローチが簡略化できるか？

主な発見

• 本稿では、G-CW複体 X に対して、G-equivariant分岐多様体ホモロジー SH^G_k(X) とBorelのG-equivariantホモロジー H_{k−dim(G)}^G(X;Z) の間に自然な同型が確立される。
• G-Hilbert多様体 P に対して、G-equivariant分岐多様体コホモロジー SH^*_G(P) は、BorelのG-equivariantコホモロジー H^*_G(P;Z) と自然に同型である。
• 逆(双)ホモロジー理論 DSH^*_G(M) は、G-equivariant分岐多様体コホモロジーのPoincaré双対であり、双対的対応の幾何的実現を提供する。
• 分岐多様体Tate(双)ホモロジーは、逆(双)ホモロジーと分岐多様体(双)ホモロジーの間の自然変換を含む長完全系列を用いて定義される。
• G=S^3の場合、H*(LBG)における積 * は明示的に計算される：a_{4k}*a_{4l}=0、a_{4k}*b_{4l+3}=a_{4k+4l}、b_{4k+3}*b_{4l+3}=b_{4k+4l+3}（符号を除く）。
• コホモロジーにおける積は幾何的に代表元の合成として実現される：α*β は S×S′ → G^{ad}×EG×G^{ad}×EG → G^{ad}×EG による写像で表される。