[論文レビュー] Some ring-theoretic properties of A_inf

Kiran S. Kedlaya|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p$ の完全な価値環上の $p$-典型的なウィット環として定義される環 $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ の基本的な環論的性質を調査する。値群が $\mathbb{R}$ に同型でないとき、通常 $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ は非整合的であるが、$\operatorname{Spec}(\mathbf{A}_{\operatorname{inf}})$ の空点を除いたスペクトル上のベクトルバンドルは、閉じた点へ一意に拡張可能であり、これはハーバーのアディック空間の圏と共通する性質である。

ABSTRACT

The ring of Witt vectors over a perfect valuation ring of characteristic p, often denoted A_inf, plays a pivotal role in p-adic Hodge theory; for instance, Bhatt, Morrow, and Scholze have recently reinterpreted and refined the crystalline comparison isomorphism by relating it to a certain A_inf-valued cohomology theory. We address some basic ring-theoretic questions about A_inf motivated by analogies with two-dimensional regular local rings. For example, we show that in most cases A_inf, which is manifestly not noetherian, is also not coherent. On the other hand, it does have the property that vector bundles over the complement of the closed point in Spec A_inf do extend uniquely over the puncture; moreover, a similar statement holds in Huber's category of adic spaces.

研究の動機と目的

• $p$-進ホッジ理論における中心的な環である $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ の整合性および有限生成性の性質を調査すること。
• $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ と2次元の正則局所環との類似性、特にイデアル構造およびベクトルバンドルの拡張に関する類似性を調査すること。
• $\operatorname{Spec}(\mathbf{A}_{\operatorname{inf}})$ の空点を除いたスペクトル上のベクトルバンドルが、完全なスペクトルへ一意に拡張可能かどうかを特定すること。
• ハーバーのアディック空間の圏へベクトルバンドルの拡張結果を拡張し、非ネーター的状況における幾何学的およびコホモロジー的性質を扱うこと。

提案手法

• $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ の要素に対するニュートン多角形理論を用いて、有限生成イデアルの交わりの構造を分析する。
• 値群が $\mathbb{R}$ に同型でない場合に、交わりが有限生成でないことを示すために、特定の要素 $f$ および $g$ を構成する。
• アンドリューズ＝ウォーキンスの技法を用いて、非離散価値環上のべき級数環類の非整合性を示す。
• セールの反射的モジュールに関する基準を適応し、$\operatorname{Tor}$-消滅を用いて、特定のモジュールの射影次元および非射影性を分析する。
• ザリスキーおよびアディックスペクトルを用いて、層論的ベクトルバンドルの拡張を研究し、開部分集合上のベクトルバンドルの圏間の完全忠実関手に依存する。
• 古典的代数幾何学の反例（例えば、例3.10）を $\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$-モジュールの文脈に翻訳し、相対的状況における拡張の失敗を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K$ の値群が $\mathbb{R}$ に同型でないとき、$\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ は整合的か？
• RQ2 $\operatorname{Spec}(\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}) \setminus \{\mathfrak{m}\}$ の空点を除いたスペクトル上のベクトルバンドルは、$\operatorname{Spec}(\mathbf{A}_{\operatorname{inf}})$ 全体へ一意に拡張可能か？
• RQ3 ハーバーのアディック空間の圏において、$\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ に対してベクトルバンドルの同型拡張性質が成り立つか？
• RQ4 $K$ をより一般の非アーキメデス的バナッハ環 $R$ に置き換えた相対的状況へ、拡張結果を一般化できるか？
• RQ5 正則列によって生成されるイデアル $I$ に対して、写像 $W(R^{+})^3 \to I$ の余核の射影次元は何か？

主な発見

• 値群が $\mathbb{R}$ に同型でない場合、要素 $f$ および $g$ を構成することで、$(f) \cap (g)$ が有限生成でないことを示し、$\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ が非整合的であることが示された。
• 特徴値 $p$ の非自明な価値を持つ任意の完全体 $K$ に対して、$\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}$ における2つの有限生成イデアルの交わりが有限生成でないことがある。特に値群がアーキメデス的または非アーキメデス的な場合に顕著である。
• 定理2.7により、$\operatorname{Spec}(\mathbf{A}_{\operatorname{inf}}) \setminus \{\mathfrak{m}\}$ の空点を除いたスペクトル上のベクトルバンドルは、完全なスペクトルへ一意に拡張可能であることが示された。
• ハーバーのアディック空間の圏においても、同様の一意拡張性質が成り立つ。定理3.9により、空点を除いたアディックスペクトル上のベクトルバンドルの圏は、完全なアディックスペクトル上のベクトルバンドルの圏に完全忠実に埋め込まれる。
• 正則列によって生成されるイデアル $I$ に対して、$M = \ker(W(R^{+})^3 \to I)$ は射影次元が少なくとも1以上であり、射影的でない。これは、この文脈においてすべての反射的モジュールが射影的でないことを示している。
• アディックスペクトル $Y$ や $Z$ の空点を除いた部分上で定義されたベクトルバンドルが、完全なスペクトル $X$ へ拡張されない例が構成された。これは、$R$ が $K$ に置き換えられた相対的状況へは拡張性質が一般化されないことを示している。