[論文レビュー] The space of volume forms

Xiuxiong Chen, Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体にドナルドソンのウェイリ・ペトリソン型計量を備えた体積形式の空間において、弱い $ C^2 $ 構造の測地線分が存在することを確立し、この無限次元空間がアレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間であることを証明している。摂動された測地線方程式と連続法を用いて、$ \epsilon $ に依存しない一様な事前推定を導出し、弱い $ C^2 $ 位相において曲率条件が成り立つことを示した。これは、ドナルドソンのケーラー計画のリーマン幾何学的類似における重要な問いを解決するものである。

ABSTRACT

S. Donaldson introduced a metric on the space of volume forms, with fixed total volume on any compact Riemmanian manifold. With this metric, the space of volume forms formally has non-positive curvature. The geodesic equation is a fully nonlinear degenerate elliptic equation. We solve the geodesic equation and its perturbed equation and prove that the space of volume forms is an infinite dimensional non-positively curved metric space in the sense of Alexandrov.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上の体積形式の空間における測地線分の存在というドナルドソンの未解決問題を解消すること。
• この空間がアレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間であることを確立すること。
• 体積形式を用いて、ドナルドソンのケーラー計画の幾何的枠組みをリーマン的設定へと拡張すること。
• 測地線方程式が自由境界値問題と同値であることを示し、それがナーム方程式および最適輸送に与える関連性を明らかにすること。

提案手法

• 体積形式の空間 $ \tilde{\mathcal{H}} $ を、$ 1 + \Delta_g\phi > 0 $ を満たす滑らかな関数 $ \phi $ の空間として形式化し、ウェイリ・ペトリソン型計量を備える。
• 摂動された測地線方程式 $ \Phi_{tt}(1 + \Delta\Phi) - |\nabla\Phi_t|^2 = \epsilon $（$ \epsilon > 0 $）を導入し、これは強楕円的であり、解析に適している。
• 連続法を適用するため、一意パラメータ族の方程式 $ P(s, D^2\Phi) = sQ(D^2\Phi) + (1-s)(\Phi_{tt} + \Delta\Phi) = \epsilon $ を構成し、摂動された測地線方程式と線形化された形の間を補間する。
• 一様な事前推定（$ C^0 $、$ C^1 $、$ C^2 $ の境界）を導出し、$ \epsilon \to 0 $ の極限において収束が保証される。
• 弱い $ C^2 $ 位相を用いて $ \overline{\mathcal{H}} $ を定義し、弱い $ C^2 $ 測地線の存在を可能にする。
• ジャコビ場の解析による曲率比較を用いて、エネルギー汎関数が経路に沿って凸であることを示し、アレクサンドロフの意味での非正曲率を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドナルドソンの計量の下で、体積形式の空間の任意の二点間には滑らかな測地線分が存在するか？
• RQ2 摂動された測地線方程式 $ \Phi_{tt}(1 + \Delta\Phi) - |\nabla\Phi_t|^2 = \epsilon $ は、$ \epsilon > 0 $ に対して一様に解け、$ \epsilon $ に依存しない境界が保証されるか？
• RQ3 ドナルドソン計量を備えた体積形式の空間は、アレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間か？
• RQ4 測地線方程式およびその摂動は、自由境界値問題およびナーム方程式とどのように関係しているか？
• RQ5 この空間における経路に沿ったエネルギー汎関数およびその第二変分の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の $ \phi_0, \phi_1 \in \mathcal{H} $ および $ \epsilon > 0 $ に対して、摂動された測地線方程式 (1.2) を満たす滑らかな解 $ \Phi(t) $ が存在し、それらを接続する。
• $ \epsilon \to 0 $ の極限においても、解の $ C^2 $ ノルムは一様に有界のまま保たれるが、ヘッセ行列 $ \nabla^2\Phi $ が有界でない可能性がある。
• 任意の二点間には、弱い $ C^2 $ 位相における閉包 $ \overline{\mathcal{H}} $ の下で、弱い $ C^2 $ 測地線分 $ \Phi: [0,1] \to \overline{\mathcal{H}} $ が存在する。
• ドナルドソン計量を備えた空間 $ \mathcal{H} $ は、アレクサンドロフの意味で非正曲率の距離空間である。
• エネルギー汎関数 $ E(s) $（測地線距離の二乗を表す）は、極限 $ \epsilon \to 0 $ において、凸性不等式 $ |AP(s)|^2 \leq (1-s)|AB|^2 + s|AC|^2 - s(1-s)|BC|^2 $ を満たし、アレクサンドロフの非正曲率が確認される。
• 曲率推定はジャコビ場の解析により導かれる。$ \frac{\partial^2}{\partial t^2}|Y| \geq 0 $ が成り立つことから、測地線に沿ったベクトル場の長さが凸であることが示される。