[論文レビュー] Space-time domain decomposition for advection-diffusion problems in mixed formulations

Thi‐Thao‐Phuong Hoang, Caroline Japhet+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 52被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、混合弱形式における移流拡散問題に対して、空間時間ドメイン分割法を提案し、演算子分割を用いて非適合時間グリッドおよび移流と拡散に別々の時間ステップを許容する。2つの手法—一般化されたノイマン＝ノイマン型プリコンディショナを用いるGTP-Schurと最適化されたロビン境界条件を用いるGTO-Schwarz—を導入し、GTO-SchwarzがGTP-Schurに比べ2〜2.5倍速く収束し、移流優勢および拡散優勢の両領域で一貫性を保つことを示した。

ABSTRACT

This paper is concerned with the numerical solution of porous-media flow and transport problems , i. e. heterogeneous, advection-diffusion problems. Its aim is to investigate numerical schemes for these problems in which different time steps can be used in different parts of the domain. Global-in-time, non-overlapping domain-decomposition methods are coupled with operator splitting making possible the different treatment of the advection and diffusion terms. Two domain-decomposition methods are considered: one uses the time-dependent Steklov--Poincar{\\'e} operator and the other uses optimized Schwarz waveform relaxation (OSWR) based on Robin transmission conditions. For each method, a mixed formulation of an interface problem on the space-time interface is derived, and different time grids are employed to adapt to different time scales in the subdomains. A generalized Neumann-Neumann preconditioner is proposed for the first method. To illustrate the two methods numerical results for two-dimensional problems with strong heterogeneities are presented. These include both academic problems and more realistic prototypes for simulations for the underground storage of nuclear waste.

研究の動機と目的

• 核廃棄物貯蔵応用を含む、時間スケールが著しく異なる不均一な移流拡散問題をシミュレートする課題に対処すること。
• 均一な時間刻みの制限を克服し、部分領域内で移流と拡散プロセスに別々の時間ステップを許容すること。
• 非適合時間グリッドをサポートし、不均一な係数が存在する中でも時間精度を保つ空間時間ドメイン分割法を開発すること。
• 混合有限要素法と最適化された境界条件を用いて、移流優勢および拡散優勢の両領域で質量保存と収束のロバスト性を確保すること。
• 実際の2次元テストケース、特に核廃棄物貯蔵所のプロトタイプを用いて、複雑な幾何形状および材料特性下でのスケーラビリティと効率性を実証すること。

提案手法

• 時間全域の非重複型ドメイン分割を、演算子分割を用いて移流と拡散を別々に取り扱うことで、部分領域内での独立した時間刻みを可能にする。
• 2つの空間時間界面問題を定式化する：1つは時間依存のステクロフ＝ポアンカレ作用素（GTP-Schur）を用い、もう1つは最適化されたシュワーツ波面緩和のためのロビン境界条件（GTO-Schwarz）を用いる。
• ディリクレ境界条件を扱うために、界面問題における移流のための新たな離散未知数を導入し、モノドメイン形式と整合性を保つ。
• 追加のグリッド細分化を伴わずに、部分領域間の非適合時間グリッドを処理する最適な時間射影アルゴリズムを用いる。
• GTP-Schur法の収束を改善するため、一般化されたノイマン＝ノイマン型プリコンディショナを実装し、特に係数対比が大きい拡散優勢ケースで有効である。
• 移流には上流有限体積法（時間方向に陽的エイラー法）を、拡散には混合有限要素法と陰的エイラー法を用い、質量保存と安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移流拡散問題の混合弱形式に、時間ステップを移流と拡散で別々に設定できる空間時間ドメイン分割法を拡張可能か？
• RQ2 強い不均一性を示す移流拡散問題に適用した場合、GTP-Schur法とGTO-Schwarz法の収束速度およびロバスト性はどのように比較されるか？
• RQ3 非適合時間グリッドの使用が解の時間精度に与える影響はどの程度で、これを効果的に軽減できるか？
• RQ4 一般化されたノイマン＝ノイマン型プリコンディショナは、GTP-Schur法の収束にどのような影響を及えるか、特に移流優勢領域で。
• RQ5 GTO-Schwarz法における最適化されたロビンパラメータは、物理的状態が変化しても、GTP-Schur法に比べて収束性とロバスト性を向上させるか？

主な発見

• GTO-Schwarz法は、解の固定誤差低減に必要な部分領域の反復回数において、GTP-Schur法に比べ2〜2.5倍速い収束を示した。
• 最適化されたロビン境界条件のおかげで、GTO-Schwarz法は離散化パラメータに弱い依存性を示し、移流優勢および拡散優勢の両領域でロバストである。
• 一般化されたノイマン＝ノイマン型プリコンディショナを用いたGTP-Schur法は、拡散優勢ケースでメッシュサイズに依存しない収束を示したが、プリコンディショナなしでは収束がメッシュサイズに強く依存した。
• 移流優勢ケースでは、ノイマン＝ノイマン型プリコンディショナがGTP-Schur法の収束を非プリコンディショニングのケースより遅くしたが、漸近的収束は依然としてメッシュサイズに弱く依存した。
• 非適合時間グリッドの使用は、適合な細かいグリッドとほぼ同等の誤差を引き起こし、2部分領域および複数部分領域の両構成で時間精度を保持した。
• 前の時間ウィンドウからの適切な初期推定値を用いることで、1時間ウィンドウあたり数回の反復でスキーム誤差に到達でき、時間積分性能が優れていることが示された。