[論文レビュー] Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in $(\mathbb{C}^*)^n$

Denis Auroux|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$(\mathbb{C}^*)^n$ 内の超曲面に対して、包絡ホモロジカルミラー対称性の拡張枠組みを提案する。この枠組みでは、超曲面 $H = f^{-1}(0)$ の包絡 Fukaya 圏と、その鏡像 Landau-Ginzburg モデルの特異的層の導来圏との関係を提示するとともに、$(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ の包絡 Fukaya 圏および鏡像の Fukaya-Seidel 圏も統合的に扱う。主な貢献は、$A_\infty$-構造の制約および Fukaya 圏内の正確な三角形関係式を用いて、高次元のパンツのホモロジカルミラー対称性を証明することにある。

ABSTRACT

Given an algebraic hypersurface $H=f^{-1}(0)$ in $(\mathbb{C}^*)^n$, homological mirror symmetry relates the wrapped Fukaya category of $H$ to the derived category of singularities of the mirror Landau-Ginzburg model. We propose an enriched version of this picture which also features the wrapped Fukaya category of the complement $(\mathbb{C}^*)^n\setminus H$ and the Fukaya-Seidel category of the Landau-Ginzburg model $((\mathbb{C}^*)^n,f)$. We illustrate our speculations on simple examples, and sketch a proof of homological mirror symmetry for higher-dimensional pairs of pants.

研究の動機と目的

• 超曲面 $H$ の包絡 Fukaya 圏に加え、$(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ の包絡 Fukaya 圏と、鏡像 Landau-Ginzburg モデルの Fukaya-Seidel 圏を統合したホモロジカルミラー対称性の拡張を図ること。
• 特異的層の導来圏 $D^b_{\text{sg}}(Z)$、$Z = W^{-1}(0)$ における coherent sheaves の導来圏、および $H$ と $(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ の包絡 Fukaya 圏を結ぶ推測的な可換図式を確立すること。
• 特定のグレーディングおよび積の制約の下で、$n$ 次元パンツの包絡 Floer コホモロジーにおける $A_\infty$-構造を検証することにより、高次元パンツにおけるホモロジカルミラー対称性を証明すること。
• 帰納法と対称性を用いて、$n$ 次元パンツ $\Pi_n$ の包絡 Fukaya 圏が $i = 0, \dots, n+1$ の $L_{\{i\}}$ によって split-generates されることを示すこと。

提案手法

• 鏡像構成は、ランチェポリノミアル $f$ のトロピカル化に基づく。関数 $\varphi(\xi) = \max_{\alpha \in A} \langle \alpha, \xi \rangle - \rho(\alpha)$ が、鏡像トロピカル多面体 $Y$ のモーメント多面体 $\Delta_Y \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を生成する。
• 鏡像 Landau-Ginzburg モデルは $((\mathbb{C}^*)^n, f)$ として定義され、超位相関数 $W = -z^{(0,\dots,0,1)}$ を持つ。その零点集合 $Z = W^{-1}(0)$ は、各 $Z_\alpha$ のトロピカル除数の和集合である。
• 本稿では、$f = -x_0/x_{n+1}$ のファイバーへの埋め込みを通じて、$\Pi_{n-1}$ の包絡 Fukaya 圏から $\mathcal{W}(\Pi_n)$ への関手 $j$ を構成する。この関手は生成子 $v_I$ を $u_I$ にマッピングし、正確な三角形構造を保存する。
• $\bigoplus_{I,J} HW^*(L_I, L_J)$ 上の $A_\infty$-構造は、2つの条件によって制約される：(1) グレーディングの整合性（出力が入力の和から各変数ごとに $(2-k)/2$ ずつずれる必要がある）、(2) $I \sqcup J \sqcup K = \{0,\dots,n+1\}$ のとき $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$ が成り立つこと。
• 証明は帰納法と $\mathfrak{S}_{n+2}$-対称性を用いて、$\{0, n+1\} \subset K$ となる場合に帰着する。このとき、$f$ の基本的集合のまわりのラッピングにより $j(v_{K'}) = u_K$ が成り立つ。
• split-generacy は、関手 $j$ と $\alpha_\infty$ の像がすべての $L_{\{i\}}$ を生成することを示し、正確な三角形が任意の2つの生成子が第3の生成子を生成することを示すことによって確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジカルミラー対称性は、超曲面 $H$ の包絡 Fukaya 圏に加え、$(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ の包絡 Fukaya 圏を含める形にどのように拡張可能か？
• RQ2 鏡像 Landau-Ginzburg モデルの特異的層の導来圏 $D^b_{\text{sg}}(Z)$ と、超曲面 $H$ の包絡 Fukaya 圏との間の明確な関係は何か？
• RQ3 $n$ 次元パンツの包絡 Floer コホモロジーにおける $A_\infty$-構造は、グレーディング制約と $\mu^3$-関係式 $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$ によって一意に決定可能か？
• RQ4 $n$ 次元パンツの包絡 Fukaya 圏は、$i = 0, \dots, n+1$ の $L_{\{i\}}$ によって split-generates されるか？
• RQ5 $f = -x_0/x_{n+1}$ のファイバーへの $\Pi_{n-1}$ の埋め込みは、$\Pi_{n-1}$ と $\Pi_n$ の包絡 Fukaya 圏の間の関手をどのように誘導するか？

主な発見

• 本稿では、帰納法と対称性を用いて、$n$ 次元パンツ $\Pi_n$ の包絡 Fukaya 圏 $\mathcal{W}(\Pi_n)$ が $i = 0, \dots, n+1$ の $L_{\{i\}}$ によって split-generates されることを証明した。
• $\bigoplus_{I,J} HW^*(L_I, L_J)$ 上の $A_\infty$-構造は、グレーディング条件と $\mu^3$-関係式 $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$（$I \sqcup J \sqcup K = \{0,\dots,n+1\}$）によって一意に決定され、Conjecture 9.6 で予想された通りである。
• $\mathcal{W}(\Pi_{n-1})$ から $\mathcal{W}(\Pi_n)$ への関手 $j$ は、生成子 $v_I$ を $u_I$ にマッピングし、正確な三角形構造を保存する。$f$ の基本的集合のまわりのラッピングにより、$j(v_{K'}) = u_K$ が成り立つ。
• $\Pi_n$ におけるホモロジカルミラー対称性の証明は、$\mathcal{W}((\mathbb{C}^*)^n \setminus H)$、$D^b_{\text{sg}}(Z)$、$\mathcal{W}(H)$ を含む可換図式に依拠しており、後者は $A_\infty$-構造と split-generacy によって確立された同値性である。
• $n=1$ の場合の検証は Hochschild コホモロジーを用いて行われ、高次元の場合の証明は $\mathfrak{S}_{n+2}$-対称性と帰納法によりこれに還元される。
• 鏡像 Landau-Ginzburg モデル $((\mathbb{C}^*)^n, f)$ の超位相関数は $W = -z^{(0,\dots,0,1)}$ であり、各トロピカル除数 $Z_\alpha$ で1次に消えるため、$W^{-1}(0) = \bigcup_{\alpha \in A} Z_\alpha$ が成り立つ。