[論文レビュー] Stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids in $\mathbb{R}^{n}$

Long Chen, Jun Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\times n$ における単体メッシュ上での線形弾性問題に対して、ストレスに $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$、変位に $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ 関数空間を用い、変位のジャンプまたは Brezzi-Fortin-Marini 技法による安定化を施した、2 種類の安定化された混合有限要素法を提案する。主な貢献は、$1 \leq k \leq n$ に対して最小の自由度で最適収束率を達成することであり、これは新しい $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数に基づく補間作用素を用いて証明された。

ABSTRACT

In this paper, we design two classes of stabilized mixed finite element methods for linear elasticity on simplicial grids. In the first class of elements, we use $\boldsymbol{H}(\mathbf{div}, Ω; \mathbb{S})$-$P_k$ and $\boldsymbol{L}^2(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ to approximate the stress and displacement spaces, respectively, for $1\leq k\leq n$, and employ a stabilization technique in terms of the jump of the discrete displacement over the faces of the triangulation under consideration; in the second class of elements, we use $\boldsymbol{H}_0^1(Ω; \mathbb{R}^n)$-$P_{k}$ to approximate the displacement space for $1\leq k\leq n$, and adopt the stabilization technique suggested by Brezzi, Fortin, and Marini. We establish the discrete inf-sup conditions, and consequently present the a priori error analysis for them. The main ingredient for the analysis is two special interpolation operators, which can be constructed using a crucial $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ bubble function space of polynomials on each element. The feature of these methods is the low number of global degrees of freedom in the lowest order case. We present some numerical results to demonstrate the theoretical estimates.

研究の動機と目的

• 標準的な $P_k$-$P_{k-1}$ 組合せが $k \leq n$ の場合に失敗するため、$\mathbb{R}^n$ 内の単体メッシュ上での線形弾性問題に対して安定な混合有限要素法を開発すること。
• ストレステンソルの対称性制約のため、低次の多項式で $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-適合有限要素を構築することが難しいという困難を克服すること。
• 最低次元（$k=1$）の場合に、最適収束を維持しつつ、グローバル自由度の数を最小限に抑えること。
• 提案された安定化手法に対して、離散インフラス条件と事前誤差推定を確立すること。

提案手法

• 最初の手法では、ストレスに $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$、変位に $\boldsymbol{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_{k-1}$ を用い、要素の面をまたがる離散変位のジャンプに基づく安定化を採用する。
• 2 番目の手法では、変位に $\boldsymbol{H}_0^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$-$P_k$ を用い、Brezzi-Fortin-Marini の安定化技法を適用する。
• 主な技術的革新は、各要素上で多項式の $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数を用いた 2 つの特別な補間作用素の構築である。
• 解析は、$\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数空間の発散が、離散変位空間における剛体運動空間の直交補空間に一致するという性質に依拠する。
• 離散インフラス条件は、$\boldsymbol{H}^1(\Omega;\mathbb{S})$-$P_k$ 空間を用いて剛体運動成分を制御することで証明される。
• 2 次元および 3 次元の数値実験により、理論的収束率が妥当であることが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体メッシュ上での $\mathbb{R}^n$ 内で、$1 \leq k \leq n$ の場合に $P_k$-$P_{k-1}$ 混合有限要素ペアを安定化できるか。
• RQ2 標準的な適合要素が対称性制約のため失敗する低次の混合法において、離散インフラス条件をどのように確立できるか。
• RQ3 最低次元の場合に、自由度を最小限に抑えつつ最適収束率を保証する安定化技法は何か。
• RQ4 $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数空間を用いて、重要な離散的性質を保つ安定な補間作用素を構築できるか。
• RQ5 提案された手法は、$\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$ 範囲と $L^2$ 範囲において、ストレスと変位の両方で最適な $O(h^k)$ 収束を達成するか。

主な発見

• 提案された安定化 $P_k^\mathrm{div}$-$P_{k-1}^{-1}$ 法は、2 次元および 3 次元で、数値実験によりストレスと変位の両方で最適な $O(h^k)$ 収束率を達成した。
• $P_k^\mathrm{div}$-$P_k^0$ 法では、2 次元および 3 次元で、ストレスの $\boldsymbol{H}(\mathbf{div},\mathcal{A})$-ノルムおよび変位の $L^2$-ノルムにおいて、$O(h^k)$ の最適収束が観察された。
• 両安定化手法に対して、$\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数に基づく新しい補間作用素を用いて、離散インフラス条件が厳密に確立された。
• $n$ 次元における $k=1$ の場合でも、高次の適合要素と比較して自由度を著しく削減しながら、最適収束が達成された。
• 表 2 から 8 の数値結果により、理論的予測と一致する収束次数 $O(h^k)$（$k=1,2$）が 2 次元および 3 次元で確認された。
• $\boldsymbol{H}(\mathbf{div})$ バブル関数の使用により、低次元領域における離散インフラス条件の証明に不可欠な安定な補間作用素の構築が可能になった。