[論文レビュー] Stackable and queueable permutations

Peter G. Doyle|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、312を避ける（スタックで実現可能な）順列と、321を避ける（キューで実現可能な）順列の間の自然な全単射を確立している。両者ともカタラン数 Cₙ で数えられる。この全単射は、ピークなしの弱いDyck経路への共通の対応から生じる。スタックの高さ記録またはキューの長さ記録がそれぞれの順列を一意に決定する。著者らは、この全単射—シモインとスミスの1985年の結果に等しい—が、1968年にKnuthの『コンピュータプログラミングの芸術』第1巻を読んだ読者が、演習問題の難易度評価がなかったなら、ずっと前に発見されただろうと主張している。これは、代替的解釈の探求を妨げる要因となった可能性がある。

ABSTRACT

There is a natural bijection between permutations obtainable using a stack (those avoiding the pattern 312) and permutations obtainable using a queue (those avoiding 321). This bijection is equivalent to one described by Simion and Schmidt in 1985. We argue that this bijection might well have been found back in 1968 by readers of volume 1 of Knuth's *The Art of Computer Programming*, if Knuth had not assigned difficulty ratings to his exercises.

研究の動機と目的

• スタックを用いて得られる順列（312を避ける）とキューを用いて得られる順列（321を避ける）の間の自然な全単射を特定・形式化すること。
• この全単射が、ピークなしの弱いDyck経路への共通の対応から自然に生じることを示すこと。
• この全単射が、1968年のKnuthの『コンピュータプログラミングの芸術』第1巻の読者によって、演習問題の難易度評価がなかったなら、ずっと前に発見されただろうという主張をすること。

提案手法

• スタックで実現可能な順列とキューで実現可能な順列を、それぞれスタックの高さ記録とキューの長さ記録で表現する。これら両者ともピークなしの弱いDyck経路を形成する。
• ピークなしの弱いDyck経路とスタックで実現可能な（またはキューで実現可能な）順列との一意の対応を用いて、両者の集合の間の全単射を定義する。
• スタックに基づく順列生成をキューを用いてシミュレートするか、逆にその逆を行うことで、全単射を構成する。同じ経路構造が、別のモデルにおける対応する順列を生成することを示す。
• 任意の順列をスタックで実現可能な順列の集合へ、およびキューで実現可能な順列の集合へ射影するべき等冪関数 'stackit' と 'queueit' を定義する。これらは、セットサイズ記録に基づく。
• スタックで実現可能な順列に制限した 'queueit' が、キューで実現可能な順列への全単射を定め、その逆がキューで実現可能な順列に制限した 'stackit' であることを示す。
• ロビンソン＝シュエンスタッド対応とヤング盤を用いて、カタラン数の数え上げへの歴史的代替ルートを提示するが、本論文ではDyck経路を通るより直接的な道筋を好む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 312を避ける（スタックで実現可能な）順列と321を避ける（キューで実現可能な）順列の間の自然な全単射は何か？ そして、Dyck経路とはどのように関係しているか？
• RQ2 なぜスタックで実現可能な順列とキューで実現可能な順列の両方の数がカタラン数 Cₙ に等しくなるのか？ その背後にある構造的特徴は何か？
• RQ3 この全単射は、1968年のKnuthの第1巻の読者によって、ずっと前に発見され得たのか？ もしそうなら、なぜそうではなかったのか？

主な発見

• 312を避ける（スタックで実現可能な）順列と321を避ける（キューで実現可能な）順列の間には自然な全単射が存在し、両者ともカタラン数 Cₙ で数えられる。
• この全単射は、1985年にシモインとスミスが得たものと等価であり、ピークなしの弱いDyck経路への共通の対応から生じる。
• スタックで実現可能な順列のスタック高さ記録と、キューで実現可能な順列のキュー長さ記録は、ともにピークなしの弱いDyck経路を形成する。各経路は、それぞれのクラスにちょうど1つの順列に対応する。
• この全単射は、スタック操作をキューを用いてシミュレートすることで実現できる。すなわち、スタックで実現可能な順列をキューを用いて生成しようとすると、対応するキューで実現可能な順列が得られる。
• 等冪関数 'stackit' と 'queueit' は、それぞれのセットサイズ記録に基づき、任意の順列をスタックで実現可能な順列の集合およびキューで実現可能な順列の集合へ射影する。これらの制限は互いに逆の全単射をなす。
• 本論文は、1968年のKnuthの演習問題の難易度評価が、読者が代替的解釈を探索することを妨げ、この全単射の発見を遅らせた可能性があると主張している。