[論文レビュー] Statistical mechanics model for Clifford random tensor networks and monitored quantum circuits

Yaodong Li, Romain Vasseur+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Quantum many-body systems参考文献 98被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、有限体上の Clifford 群の可換束を活用することで、Clifford 確率的テンソルネットワークおよび監視付き量子回路の正確な統計力学的写像を導入する。Clifford 群の一般化された Wein­garten 関数を導出し、これらの系における量子もつれ転移が、局所ヒルベルト空間次元 $d = p^M$ の素数 $p$ のみに依存する普遍的性質によって支配されることを示す。臨界行動は、$M \to \infty$（$p$ を固定）および $p \to \infty$（$M=1$）の極限で、確率的臨界性に近づく。このとき、大規模な $p$ における最小カットもつれエントロピーは $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$ となる。数値的検証により、臨界指数が確率的臨界値に収束することが確認された。

ABSTRACT

We introduce an exact mapping of Clifford (stabilizer) random tensor networks (RTNs) and monitored quantum circuits, onto a statistical mechanics model. With Haar unitaries, the fundamental degrees of freedom ('spins') are permutations because all operators commuting with the action of the unitaries on a tensor product arise from permutations of the tensor factors ('Schur-Weyl duality'). For unitaries restricted to the smaller Clifford group, the set of commuting operators, the 'commutant', forming the new 'spin' degrees of freedom, will be larger. We use the recent full characterization of this commutant by Gross et al., Comm. Math. Phys. 385, 1325 (2021), to construct the Clifford statistical mechanics models for on-site Hilbert space dimensions which are powers of a prime number $p$. We show that the Boltzmann weights are invariant under a symmetry group involving orthogonal matrices with entries in the finite number field ${\bf F}_p$. This implies that the symmetry group, and consequently all universal properties of entanglement transitions in Clifford circuits and RTNs will in general depend on, and only on the prime $p$. We show that Clifford monitored circuits with on-site Hilbert space dimension $d=p^M$ are described by percolation in the limits $d o \infty$ at (a) $p=$ fixed but $M o \infty$, and at (b) $M= 1$ but $p o \infty$. In the limit (a) we calculate the effective central charge, and in the limit (b) we derive the following universal minimal cut entanglement entropy $S_A =(\sqrt{3}/π)\ln p \ln L_A$ for $d=p$ large at the transition. We verify those predictions numerically, and present extensive numerical results for critical exponents at the transition in monitored Clifford circuits for prime number on-site Hilbert space dimension $d=p$ for a variety of different values of $p$, and find that they approach percolation values at large $p$.

研究の動機と目的

• Clifford 確率的テンソルネットワークおよび監視付き量子回路におけるもつれ転移の統計力学的枠組みを確立すること。
• ハール測度に限らない、ハール確率的ユニタリにまで拡張されたレプリカ法および Wein­garten 計算法を、Clifford 群へと拡張すること。
• 局所ヒルベルト空間次元 $d = p^M$ の素数 $p$ を用いたもつれ転移の普遍的性質を特定すること。
• 大 $p$ および大 $M$ の極限におけるもつれエントロピーおよび臨界指数の正確な式を導出すること。
• 広範な数値シミュレーションを通じて、普遍性および確率的臨界性への収束を検証すること。

提案手法

• Clifford 群の可換束の要素である $\mathbb{F}_p$ 上のスピンを基本自由度とする、レプリカ統計力学モデルへの Clifford RTNs および監視付き回路の写像。
• Gross ら（2021）による Clifford 可換束の完全な特徴付けを用いて、ボルツマン重みおよびスピン相互作用を定義。
• Clifford 群上での平均に対する一般化された Wein­garten 関数を導出し、標準的 formalism をハール測度から有限群平均へと拡張。
• 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の直交行列を含む対称性群を特定し、もつれ転移の普遍的性質を支配するものとする。
• レプリカ法を用いて Rényi エントロピーを計算し、監視付き回路における臨界行動を抽出。
• さまざまな素数次元 $d = p$ および $d = p^2$ について、臨界指数を数値的にシミュレートし、確率的臨界性と比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ヒルベルト空間次元 $d = p^M$ の素数 $p$ が、Clifford 確率的テンソルネットワークおよび監視付き量子回路におけるもつれ転移にどのように影響を与えるか？
• RQ2 Clifford RTNs および監視付き回路の背後にある統計力学的モデルは何か？また、ハール測度の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 大 $p$ 限界（$M=1$）において、もつれ転移は普遍的性質を示すか？ もしそうであれば、臨界状態における最小カットもつれエントロピーは何か？
• RQ4 大 $M$ 限界（$p$ を固定）において、系は確率的臨界性に類似した臨界性を示すか？ 有効な中心電荷は何か？
• RQ5 監視付き Clifford 回路の数値的臨界指数は、$p$ が増加するにつれて確率的臨界値に収束するか？

主な発見

• $M \to \infty$ で $p$ を固定した極限において、Clifford 監視付き回路の臨界行動は確率的臨界性と等価であり、有効な中心電荷が明示的に導出された。
• $M=1$ で $p \to \infty$ とした極限において、転移における最小カットもつれエントロピーは $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$ とスケーリングし、これは普遍的予測であり、数値的に確認された。
• 数値的結果により、$d = p$ の監視付き Clifford 回路における臨界指数が、$p$ の増加に従って確率的臨界値に収束することが示され、普遍性が裏付けられた。
• Clifford 群の一般化された Wein­garten 関数が導出され、$\mathbb{F}_p$ 上の直交変換に対して不変であることが示され、普遍的行動の対称性に基づく分類が確立された。
• 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の Clifford 群の可換束は、統計力学モデルの基盤をなしており、その構造がボルツマン重みおよび系の対称性を決定づけている。
• 結果は Clifford 群を超えて一般化可能である：可換束が既知であれば、任意の量子回路または RTN を、同じ形式主義を用いて統計力学モデルに写像可能である。