[論文レビュー] Stochastic calculus of variations for general Lévy processes and its applications to jump-type SDE's with non-degenerated drift

Alexei Kulik|ArXiv.org|Jun 18, 2006

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、軌道の時間伸縮変換を用いて一般の Lévy 过程の確率的変分法を構築し、非退化なドリフトを伴うジャンプ型 SDE の遷移密度の絶対連続性および滑らかさの解析を可能にする。弱い Lévy 済み条件（例えば広い錐条件）の下で、解の分布は絶対連続であり、その密度は $ C^rown $ であることが示され、ノイズの空間的・周波数的正則性がなくても成り立つ。

ABSTRACT

We consider an SDE in R^m of the type dX(t)=a(X(t))dt+dU(t) with a Lévy process U and study the problem for the distribution of a solution to be regular in various senses. We do not impose any specific conditions on the Lévy measure of the noise, and this is the main difference between our method and the known methods by J.Bismut or J.Picard. The main tool in our approach is the stochastic calculus of variations for a Lévy process, based on the time-stretching transformations of the trajectories. Three problems are solved in this framework. First, we prove that if the drift coefficient a is non-degenerated in an appropriate sense, then the law of the solution to the Cauchy problem for the initial equation is absolutely continuous, as soon as the Lévy measure of the noise satisfies one of the rather weak intensity conditions, for instance the so-called wide cone condition. Secondly, we provide the sufficient conditions for the density of the distribution of the solution to the Cauchy problem to be smooth in the terms of the family of the so-called order indices of the Lévy measure of the noise (the drift again is supposed to be non-degenerated). At last, we show that an invariant distribution to the initial equation, if exists, possesses a C^\infty-density provided the drift is non-degenerated and the Lévy measure of the noise satisfies the wide cone condition.

研究の動機と目的

• 非退化なドリフトを伴うジャンプ型 SDE の解の分布が Lebesgue 測度に関して絶対連続となる条件を確立すること。
• Lévy 済みの順序インデックスを用いて、解の遷移密度が滑らか（$ C^rown $）であるための十分条件を導出すること。
• 不変分布が存在する場合、それが非退化なドリフトおよび広い錐条件を満たす Lévy 済みを満たすならば、$ C^rown $-密度を持つことを証明すること。
• 従来の Malliavin 型または Picard 型の手法とは異なり、Lévy 済みに正則性仮定を必要としない、時間伸縮変換に基づく新しい確率的枠組みを構築すること。
• ノイズに空間的・周波数的正則性が欠如する場合の Lévy 过程およびジャンプ型 SDE における密度の滑らかさに関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• サンプルパスの時間伸縮変換を用いて、一般の Lévy 过程の確率的変分法を導入し、分布的性質の摂動に基づく解析を可能にする。
• 時間区間上に微小グリッドを構築して解析を局所化し、Malliavin 行列の振る舞いを離散近似によって制御する。
• 時間伸縮フレームワークから導かれる、Lévy パスのウィener 空間における部分積分公式を適用し、Malliavin 行列のモーメント推定を得る。
• Lévy 済みの順序インデックスの族を用いてジャンプ強度の減衰率を特徴付け、それらを密度の滑らかさと関連付ける。
• ドリフトの導関数および時間伸縮作用素の随伴作用素の逆の推定を用いて、時間伸縮摂動の系列による Malliavin 行列式の下界を確立する。
• ホルダーの不等式および指数モーメントの有界性を用いて、部分積分公式における期待値の成長を制御し、関係する級数の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy 済みに空間的・周波数的正則性が欠如するとしても、SDE $ dX(t) = a(X(t))dt + dU_t $ の解の分布が Lebesgue 測度に関して絶対連続となる Lévy 済みに関する条件は何か？
• RQ2 ドリフト係数が非退化であると仮定した場合、Lévy 済みがどのような条件を満たせば、解の遷移密度が滑らか（$ C^rown $）となるか？
• RQ3 不変分布 $ P^* $ が存在する場合、Lévy 済みが広い錐条件を満たす弱い条件下で、それが $ C^rown $-密度を持つと言えるか？
• RQ4 Lévy 済みが密度を持たないか、漸近的正則性を示さない場合に、一般の Lévy 过程に対して確率的変分法をどのように構築できるか？
• RQ5 初期分布に依存しない形で、ドリフトの非退化性および Lévy 済みの構造から、不変密度の滑らかさをどの程度まで示せるか？

主な発見

• ドリフト係数 $ a $ が非退化であり、Lévy 済みが広い錐条件を満たすならば、初期値問題の解の分布は Lebesgue 測度に関して絶対連続である。
• Lévy 済みの順序インデックスが特定の成長条件を満たし、ドリフトが適切な意味で非退化であるならば、解の遷移密度 $ p_{x,t} $ は滑らか（$ C^rown $）である。
• 不変分布 $ P^* $ が存在する場合、ドリフトが非退化で、Lévy 済みが広い錐条件を満たすならば、その分布は $ C^rown $-密度を持つ。
• 従来の Malliavin 微積分や Picard 法に基づく手法とは異なり、Lévy 済みの滑らかさや周波数的正則性に関する仮定を回避する。
• 証明では、時間伸縮摂動による Malliavin 行列式の一様下界を確立し、滑らかな密度の存在を保証する可積分性推定を得る。
• 部分積分公式は、導関数項のモーメントが有限であるように構築されており、収束性が保証され、密度の滑らかさの導出が可能となる。