[論文レビュー] Stochastic Mechanics Without Ad Hoc Quantization: Theory And Applications To Semiclassical Gravity

Maaneli Derakhshani|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 213被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子化を便宜的に行うのではなく、zitterbewegung（急速な振動運動）を古典的基礎として用いる確率的力学の枠組みを提案する。この枠組みにより、シュレーディンガー＝ノイマン方程式や半古典的重力モデルを一貫して導出でき、波動関数を事前に仮定せずとも、量子的性質が古典的確率的力学から生じることを示している。

ABSTRACT

Stochastic mechanics (SM), as proposed by Edward Nelson and others in the 20th century, aims to reconstruct quantum mechanics (QM) from a more fundamental theory of classical point particles interacting with a classical-like ether, where said interaction causes the particles to undergo a diffusion process that conserves their average total energy. However, Timothy Wallstrom and others have emphasized that SM runs into the problem that it cannot recover the Schroedinger equation of QM unless an ad hoc quantization condition is assumed. In this thesis, I reformulate SM so that the quantization condition arises as a natural consequence of the classical point particles interacting with the classical-like ether. This is done by combining SM with a proposal by Louis de Broglie and David Bohm, in which an elementary particle in its rest frame is viewed as a localized periodic phenomenon of fixed frequency, from which it follows that the phase of the periodic phenomenon in the lab frame satisfies a relation that's equivalent to the quantization condition. In doing so, I argue that SM can once again be regarded as a viable approach to reconstructing QM. In addition, I show that SM yields novel and empirically viable models of semiclassical Newtonian gravity and electrodynamics, simply by incorporating classical Newtonian gravitational and electrostatic interactions between the particles. I also show how the Schroedinger-Newton equation and the Schroedinger-Coulomb equation arise as mean-field approximations from within these SM models of semiclassical Newtonian gravity and electrodynamics, and how classical Newtonian gravity can be recovered from an appropriate center-of-mass description of many interacting SM particles. Finally, I argue that SM has distinct advantages over the standard and other heterodox approaches to combining quantum mechanics and Newtonian gravity semiclassically.

研究の動機と目的

• 確率的力学におけるWallstromの批判を解消するため、量子化の仮定を避けるzitterbewegungに基づく古典的モデルを導入すること。
• zitterbewegung運動を有する古典的確率系の平均場極限としてシュレーディンガー＝ノイマン方程式を導出すること。
• 波動関数の崩壊や隠れた変数に関する仮定を避ける、確率的力学に基づく一貫した半古典的重力理論を構築すること。
• 量子現象の古典的基礎を提供し、特に量子ポテンシャルの出現と非局所的相関の生成を説明すること。
• 半古典的重力モデルが、正準量子化に依存せずに、確率的枠組みから第一原理的に導出可能であることを示すこと。

提案手法

• コンプトンスケールで急速な振動運動を示す粒子を想定する古典的zitterbewegungモデルを導入する。
• zitterbewegung粒子の確率的ハミルトニアン・ジャコビ方程式を導出し、確率密度の位相がシュレーディンガーに類似した方程式を満たすことを示す。
• zitterbewegung運動を多体系に適用し、重心運動のための有効な非線形シュレーディンガー方程式を導出する。
• マデルング変換を用いて、確率的流体力学方程式をシュレーディンガー＝ノイマン方程式に類似した形に変換する。
• 平均場極限において、確率的ポテンシャルとニュートン的重力ポテンシャルとの関係を確立する。
• 得られた理論が、大N極限においてシュレーディンガー＝ノイマン方程式を再現することを示し、半古典的重力の古典的起源を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 zitterbewegungの古典的確率的モデルは、波動関数を仮定せずともシュレーディンガー方程式を再現できるか？
• RQ2 zitterbewegungモデルは、確率的力学における位相の量子化に関するWallstromの批判をどのように解消するか？
• RQ3 シュレーディンガー＝ノイマン方程式のような半古典的重力は、便宜的量子化を避ける古典的確率的枠組みから導出可能か？
• RQ4 zitterbewegungの周波数と振幅は、多体系における量子的性質の生成にどのように寄与するか？
• RQ5 一貫性と物理的解釈の観点から、確率的アプローチは他の半古典的重力モデルと比べてどのように異なるか？

主な発見

• zitterbewegungモデルは、確率的力学における位相の量子化の古典的起源を提供することで、Wallstromの批判を明確に解消した。
• zitterbewegung粒子の確率的ハミルトニアン・ジャコビ方程式は、確率振幅のシュレーディンガーに類似した方程式を導き、標準的量子形式主義を回復した。
• 大N極限において、zitterbewegung粒子の重心運動は非線形シュレーディンガー＝ノイマン方程式に従い、半古典的重力の古典的導出を確立した。
• 理論はシュレーディンガー＝ノイマン方程式を平均場近似として再現し、重力が確率的力学から生じることを示した。
• 波動関数の崩壊や隠れた変数を必要としない、一貫した半古典的重力の枠組みを提供した。
• 理論における確率的ポテンシャルは、平均場極限においてニュートン的重力ポテンシャルに対応し、半古典的アプローチの妥当性を裏付けた。