[論文レビュー] A Suggested Answer To Wallstrom's Criticism (I): Zitterbewegung Stochastic Mechanics

Maaneli Derakhshani|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 161被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スピンのない粒子がその静止系において周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ の連続的なジッターベグルン振動を受ける、ジッターベグルン確率力学（ZSM）を提案する。この振動の時間対称的位相に保存的拡散制約を課すことにより、速度ポテンシャル $S$ が自然に所定の量子化条件を満たし、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式を介してシュレーディンガー波動関数が導出される。これによりウォルトロムの批判が解決される。

ABSTRACT

Wallstrom's criticism of existing formulations of stochastic mechanics is that they fail to derive the empirical predictions of orthodox quantum mechanics because they require an ad hoc quantization condition on the postulated velocity potential, \emph{S}, in order to derive Schr\odinger wave functions. We propose an answer to this criticism by modifying the Nelson-Yasue formulation of non-relativistic stochastic mechanics for a spinless particle with the following hypothesis: a spinless Nelson-Yasue particle of rest mass $m$ continuously undergoes a driven steady-state oscillation of `zitterbewegung' (\emph{zbw}) frequency, $\omega_{c}=\left(1/\hbar ight)mc^{2}$, in its instantaneous mean forward (and backward) translational rest frame. With this hypothesis we show that, in the lab frame, \emph{S} arises from imposing the constraint of conservative diffusions on the time-symmetrized steady-state phase of the \emph{zbw} particle, satisfies the required quantization condition, and evolves in time by the Hamilton-Jacobi-Madelung equations (when generalized to describe a statistical ensemble of \emph{zbw} particles). From the mathematical equivalence of Schr\odinger's equation with the Hamilton-Jacobi-Madelung equations plus the quantization condition, Schr\odinger wave functions for a spinless particle (in and excluding external fields) are thereby recovered. We also apply this `zitterbewegung stochastic mechanics' (ZSM) to the case of a central potential and show that it predicts angular momentum quantization. This paper sets the foundation for Part II, which will (primarily) work out the many-particle version of ZSM.

研究の動機と目的

• 確率力学が量子予測を再現するためには、速度ポテンシャル $S$ に対して便宜的な量子化条件を必要とするウォルトロムの批判を解決すること。
• 周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターベグルン振動という物理的メカニズムを提唱し、これにより $S$ の必要とされる量子化が自然に生成されることを示すこと。
• 得られた $S$ がハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式を満たし、外部場のないスピンのない粒子に対してシュレーディンガー波動関数が得られることを示すこと。
• フレームワークを中心力場に拡張し、角運動量の量子化を予測できることを示すこと。

提案手法

• スピンのない粒子の瞬間的静止系において、周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターベグルン（zbw）振動を導入する。
• 保存的拡散制約の下で、時間対称的位相ダイナミクスを有する確率過程として粒子をモデル化する。
• ジッターベグルンの位相から速度ポテンシャル $S$ を導出し、それが自然に量子化条件を満たすことを保証する。
• 得られた $S$ が、ジッターベグルン粒子の集合に対して一般化されたハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式に従って進化することを示す。
• 導出された $S$ を用いたハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式とシュレーディンガー方程式との数学的同等性を確立し、量子波動関数を回復する。
• 中心力場にこのフレームワークを適用し、角運動量の量子化を予測できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に妥当なジッターベグルン振動メカニズムが、確率力学における速度ポテンシャル $S$ の量子化条件を自然に生成できるか。
• RQ2 保存的拡散の下で、ジッターベグルン運動をしている粒子の時間対称的位相が、必要な量子化条件を満たす速度ポテンシャル $S$ を与えるか。
• RQ3 この $S$ を用いたハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式は、自由空間に置かれたスピンのない粒子に対してシュレーディンガー方程式を再現できるか。
• RQ4 ジッターベグルン確率力学フレームワークは、中心力場において角運動量の量子化を予測できるか。
• RQ5 このアプローチは、便宜的な制約を導入せずにウォルトロムの批判を解決できるか。

主な発見

• 粒子の静止系における周波数 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ のジッターベグルン振動が、速度ポテンシャル $S$ の量子化条件の物理的起源を提供する。
• ジッターベグルンの時間対称的位相から導出された速度ポテンシャル $S$ は、便宜的な仮定なしに必要な量子化条件を満たす。
• 実験フレームワークにおける $S $ の進化は、ハミルトニアン＝ヤコビ＝マデルング方程式に従い、これはシュレーディンガー方程式と数学的に同等である。
• このフレームワークは、外部場のないスピンのない粒子に対して、シュレーディンガー波動関数を自然に回復する。
• 中心力場に適用した場合、モデルは角運動量の量子化を予測し、量子力学と整合的である。
• ジッターベグルン確率力学（ZSM）は、量子的挙動を便宜的な量子化条件を仮定せずに、確率的ダイナミクスから導出する基礎的メカニズムを提供する。