[論文レビュー] Stochastic nonlinear Schrödinger equation with almost space-time white noise

Justin Forlano, Tadahiro Oh+1 more|Edinburgh Research Explorer|May 22, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元トーラス上でのほぼ空間時間白色ノイズを伴う確率的立方非線形シュレーディンガー方程式の局所的well-posednessを、正規化手続きを導入し、フーリエ・レジスティスノルム法をフーリエ・レジスティス空間で用いることで確立する。主な結果は、ノイズの正則性が空間時間白色ノイズに近い場合のwell-posednessであり、特にノイズ作用素がBessel型ポテンシャル $\alpha > 0$ である場合に成立する。

ABSTRACT

We study the stochastic cubic nonlinear Schrödinger equation (SNLS) with an additive noise on the one-dimensional torus. In particular, we prove local well-posedness of the (renormalized) SNLS when the noise is almost space-time white noise. We also discuss a notion of criticality in this stochastic context, comparing the situation with the stochastic cubic heat equation (also known as the stochastic quantization equation).

研究の動機と目的

• 加法的ノイズがほぼ空間時間白色ノイズに近い確率的立方非線形シュレーディンガー方程式（SNLS）の局所的well-posednessを確立すること。
• 特にSNLSと確率的量子化方程式（確率的熱方程式）を比較することで、確率的設定における臨界性の閾値を調査すること。
• フーリエ・レジスティス空間における確率的畳み込みの解析を通じて、$L^2$-臨界的領域を超えたwell-posedness理論を拡張すること。
• ノイズが空間時間白色ノイズに近い場合の確率的畳み込みの粗さを扱うための厳密な枠組みを提供すること。
• Bessel型ポテンシャル作用素 $\phi = \langle \partial_x \rangle^{-\alpha}$ がノイズを正則化し、$\alpha > 0$ に対してwell-posednessを可能にする役割を明確にすること。

提案手法

• 線形シュレーディンガー伝搬作用素 $S(t) = e^{-it\partial_x^2}$ を用いてSNLSを弱形（Duhamel形式）に定式化する。
• ランダム駆動力の効果を捉えるため、確率的畳み込み $\Psi(t) = \int_0^t S(t-t') \phi \xi(dt')$ を定義する。
• フーリエ・レジスティス空間 $\mathcal{F}L^{s,p}$ における確率的畳み込みの正則性を特定するために $\gamma$-ラドンイフ作用素ノルムを用いる。
• 非線形項 $|u|^2u$ を制御するために、Bourgainのフレームワークに基づくフーリエ制限ノルム法と $X^{s,b}$-型空間を併用する。
• ほぼ空間時間白色ノイズの下で生じる発散行動を扱うために、正規化手続きを導入する。
• $\alpha > 0$ の下で適切な関数空間における収縮写像原理を証明することで、$\mathcal{F}L^{s,p}$-に基づく空間におけるwell-posednessを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的立方非線形シュレーディンガー方程式が局所的にwell-posedのままであるためのノイズの正則性の閾値は何か？
• RQ2 正規化手続きは、ほぼ空間時間白色ノイズによって生じる特異性をどのように緩和するか？
• RQ3 確率的文脈におけるノイズの臨界正則性は何か？ また、これは決定的または熱方程式の類似物と比較してどうなるか？
• RQ4 ノイズが空間時間白色ノイズではないがそれに近い場合に、well-posedness理論を $L^2$-正則性を超えて拡張できるか？
• RQ5 Bessel型ポテンシャル作用素 $\phi = \langle \partial_x \rangle^{-\alpha}$ は、ノイズを正則化し、解析を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 正規化されたSNLSは、$\alpha > 0$ に対して $\mathcal{F}L^{s,p}$-に基づく空間で局所的にwell-posedである。ここで $\phi = \langle \partial_x \rangle^{-\alpha}$ はBessel型ポテンシャル作用素である。
• ノイズ作用素 $\phi = \text{Id}$ の場合、確率的畳み込み $\Psi(t)$ は $s < -\frac{1}{2}$ に対して $H^s(\mathbb{T})$ 値でほとんど確実に連続的であるが、$\alpha > 0$ の場合、より正則性が高まる。
• $\alpha > 0$ の場合、$L^2$-臨界的領域においてwell-posednessが確立され、$\phi \in HS(L^2; L^2)$ の古典的 $L^2$-well-posedness を超えて拡張される。
• $\gamma$-ラドンイフ作用素ノルムは、フーリエ・レジスティス空間における確率的畳み込みの正則性を特徴付ける強固な枠組みを提供する。
• ノイズの臨界性は正則化パrameter $\alpha$ に依存しており、$\alpha = 0$ は空間時間白色ノイズに対応する境界ケースである。
• 本結果は、ノイズが空間時間白色ノイズに非常に近い場合でも、$\alpha > 0$ に対して $\phi = \langle \partial_x \rangle^{-\alpha}$ を用いてわずかに滑らかにすることで、SNLSがwell-posedであることを示している。