[論文レビュー] A remark on norm inflation for nonlinear Schrödinger equations

Nobu Kishimoto|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非周期的および周期的領域における負のソボレフ空間上での多項式非線形項を有する半線形シュレーディンガー方程式に対して、ノルムインフレーションを確立する。Iwabuchi-Ogawa法を二次非線形項やゲージ不変型に限らない一般の非線形項へ拡張することにより、$ s < \min\{s_c(d,p), 0\} $ における $ H^s $ 上でのill-posedness を証明し、特に臨界および下臨界領域を含む。高周波数から低周波数へのエネルギーキャスケードを示し、強い不安定性を示している。

ABSTRACT

We consider semilinear Schrödinger equations with nonlinearity that is a polynomial in the unknown function and its complex conjugate, on $\mathbb{R}^d$ or on the torus. Norm inflation (ill-posedness) of the associated initial value problem is proved in Sobolev spaces of negative indices. To this end, we apply the argument of Iwabuchi and Ogawa (2012), who treated quadratic nonlinearities. This method can be applied whether the spatial domain is non-periodic or periodic and whether the nonlinearity is gauge/scale-invariant or not.

研究の動機と目的

• 多項式非線形項を有する半線形シュレーディンガー方程式が、$ H^s $ 上の負のソボレフ空間においてノルムインフレーション（NI s）を示すことで、強いill-posednessを確立すること。
• Iwabuchi-Ogawa法を二次非線形項やゲージ不変型に限らない一般の多項式非線形項（複素数係数を含む）へ拡張すること。
• $ s < 0 $ における解写像の振る舞いを解析すること、特にスケーリング臨界性と周期性が標準的手法を複雑にする領域において。
• ノルムインフレーションがスケーリング臨界正則性より低い領域だけでなく、$ (d,p) = (1,3), (2,2) $ のような特定のケースにおける臨界インデックス $ s = s_c(d,p) $ に対しても成立することを示すこと。

提案手法

• 解のべき級数展開に着目し、周波数局在ノルムにおける各項の増大を分析するため、Iwabuchi-Ogawaの議論を適用する。
• dyadic射影 $ U_k[\phi] $ を用いた周波数局在化により、高周波数から低周波数へのエネルギー移動を追跡する。
• $ L^p $-に基づくモジュレーション空間 $ D^{[\alpha]}_{p,q} $ と、フーリエ変換およびヤングの不等式を用いた推定を用いて、解成分の大きさを制御する。
• 解展開における $ k $ 階項に対する再帰的推定を実施し、特定のパrameter選択のもとで、高次の項が負のソボレフノルムにおいて優勢になることを示す。
• $ H^s $-ノルムが制御可能だが高周波数成分が大きい初期データ $ \phi $ を構成し、$ T \sim N^{-2} $ の時点でノルムインフレーションを誘発するように調整する。
• パrameter $ r, A, T $ を選んでノルムインフレーション条件を検証する。具体的には、$ \|\phi\|_{H^s} \ll \delta $、$ T \ll \delta $、および $ \|u(T)\|_{H^s} \gg \delta^{-1} $ を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変性や係数の実数性に依存せず、$ \mathbb{R}^d $ および $ \mathbb{T}^d $ 上の一般の多項式非線形項に対して、負のソボレフ空間上でのノルムインフレーションが成立するか？
• RQ2 Iwabuchi-Ogawa法は、二次非線形項やゲージ不変型に限らない非線形項へ拡張可能か？
• RQ3 ノルムインフレーションが成立する正則性の鋭い範囲 $ s $ は何か、特にスケーリング臨界インデックス $ s_c(d,p) $ においてまたはそれ以下で成立するか？
• RQ4 周期的領域において $ (p,q) = (2,1) $ の場合、ノルムインフレーションは可能か？その正則性閾値は何か？
• RQ5 この手法は、解写像における無限の正則性損失を検出可能か？どのような条件下で成立するか？

主な発見

• ノルムインフレーションは、空間領域（$ \mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{T}^{d_2} $）や非線形項の種別にかかわらず、すべての $ s < \min\{s_c(d,p), 0\} $ において $ H^s $ 上で成立する。
• $(d,p) = (1,3)$ および $(2,2)$ の場合、ノルムインフレーションはスケーリング臨界インデックス $ s = s_c(d,p) = -\frac{1}{2}, -1 $ においても成立する。
• $(p,q) = (2,1)$ の場合、$ \mathbb{R}^d $ 上では $ d \leq 3 $ に対して $ s < -\frac{1}{4} $、$ \mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{T}^{d_2} $ 上では $ d_1 + d_2 \leq 3 $、$ d_2 \geq 1 $ に対して $ s < 0 $ でノルムインフレーションが成立する。
• $ \mathbb{T} $ 上では、$(p,q) = (4,1), (4,2), (4,3)$ の場合、任意の $ s < 0 $ でノルムインフレーションが成立し、従来の結果を拡張する。
• この手法により、滑らかな非線形項に対する無限の正則性損失の新しい証明が得られ、Carles, Dumas, and Sparber (2012) および Carles and Kappeler (2014) の結果を回復・拡張する。
• 構成により、$ \|u(T)\|_{H^s} \gg \delta^{-1} $ である一方で $ \|\phi\|_{H^s} < \delta $、$ T < \delta $ となることが確認され、解写像の単なる不連続性をはるかに超える強い不安定性が裏付けられる。