[論文レビュー] Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、完全環とウィット代数的構造を用いた新しい枠組みを導入することで、混合特徴値におけるアフィングラスマンニアンの表現可能性を確立し、幾何学的サタケ同値を証明する。これは、混合特徴値におけるラティスのモジュライ空間が、完全代数的空間の列の極限として表現可能であることを示し、この設定において ℓ-進コホロロジーと perverse ファンクターの構築を可能にする。この結果は、ラポルト＝ジンクス空間やアフィンデリーニュ＝ルスツジアン多様体への応用を含む、幾何的表現論における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

We endow the set of lattices in Q_p^n with a reasonable algebro-geometric structure. As a result, we prove the representability of affine Grassmannians and establish the geometric Satake correspondence in mixed characteristic. We also give an application of our theory to the study of Rapoport-Zink spaces.

研究の動機と目的

• 混合特徴値において、Qp^n におけるラティスの集合に、まともな代数的幾何的構造を与えること。これは、これまでに混合特徴値において適切なモジュライ解釈を欠いていた。
• 完全環に制限し、代数的空間のパーフェクションを用いることで、GLn に対するアフィングラスマンニアンの表現可能性問題を解決すること。
• 混合特徴値における幾何学的サタケ同値を確立し、サタケ圏とラングランズ双対群の表現の間の関係を明示すること。
• 新しい枠組みを用いて、アフィンデリーニュ＝ルスツジアン多様体の次元とラポルト＝ジンクス空間との関係を研究すること。
• 混合特徴値におけるアフィングラスマンニアン上での ℓ-進コホロロジーおよび perverse ファンクター理論の基礎を提供すること。

提案手法

• 完璧な k-代数 R 上のラティスのモジュライ問題を、W(R)[1/p]^n の中で全ランクの有限生成射影 W(R)-部分加群として定義する。
• 完全スキームはその完全環上の値によって決定され、エタールコホロロジーはパーフェクションに関して不変であることを利用する。
• Gr(N) の部分関手を、p^N で割り切れる行列のモジュライ空間上の決定因子ラインバンドルの商として表現する。
• アフィングラスマンニアンを、k 上の固有代数的空間のパーフェクションである完全代数的空間の直接極限として構成する。
• 完全スキームおよび完全代数的空間上の ℓ-進層の理論を用いて、コホロロジー的不変量を定義する。
• GL2 に対してこの構成を適用し、明示的なモデルにより特異点の解消が達成されることを検証し、Gr2 がスキームであることを示し、Gr2 とパーフェクションを施したアフィン平面による開被覆を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Qp^n におけるラティスの集合は、混合特徴値においてまともな代数的幾何的構造をもつだろうか？
• RQ2 GLn に対する混合特徴値におけるアフィングラスマンニアンは、完全代数的空間の直接極限として表現可能だろうか？
• RQ3 混合特徴値における幾何学的サタケ同値は成立するだろうか？ すなわち、サタケ圏とラングランズ双対群の表現との間の関係は成立するか？
• RQ4 混合特徴値におけるアフィンデリーニュ＝ルスツジアン多様体の次元は何か？ そしてラポルト＝ジンクス空間とはどのような関係にあるか？
• RQ5 特異点が完全代数的空間モデルによって解消可能だろうか？

主な発見

• 混合特徴値におけるアフィングラスマンニアンは、それぞれが残渣体 k 上の固有代数的空間のパーフェクションである完全代数的空間の直接極限として表現可能である。
• 混合特徴値における幾何学的サタケ同値が成立し、サタケ圏がラングランズ双対群の表現の圏と同一視される。
• 混合特徴値におけるアフィンデリーニュ＝ルスツジアン多様体の次元は、アフィングラスマンニアンの幾何とその解消の性質を用いて計算される。
• GL2 および N=2 の場合、アフィングラスマンニアン Gr2 がスキームであることが示され、Gr2 とパーフェクションを施したアフィン平面による開被覆を持つ。さらに、解消写像 fGr2 → Gr2 が明示的に構成される。
• 解消上の決定因子ラインバンドルが半アーモニックであることが示され、混合特徴値における予想的な幾何学的サタケの裏付けとなる。
• アフィングラスマンニアンの幾何とその特異点を用いて、ラポルト＝ジンクス空間のモデルが提供される。