[論文レビュー] String topology and configuration spaces of two points

Florian Naef, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、閉多様体の自由ループ空間のコホモロジーにおけるストリングトポロジー作用素—特にチャス＝シンガープロダクト、ゴレスキー＝フィングストンコプロダクト、および$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-構造—を、2点の配置空間とポincare双対性モデルを用いて代数的モデル化する。主な貢献は、コブレケットが多様体構造をその有理ホモトピー型を超えて検出できることを示したことである。特に、微分同相群$\lceil\mathrm{Diff}(M)\rceil$の作用が$\lceil\mathrm{aut}(M)\rceil$を通らないことから、ストリングトポロジーがホモトピー不変量を超える幾何的情報を含むことが証明される。

ABSTRACT

Given a closed manifold $M$. We give an algebraic model for the Chas-Sullivan product and the Goresky-Hingston coproduct. In the simply-connected case, this admits a particularly nice description in terms of a Poincaré duality model of the manifold, and involves the configuration space of two points on $M$. We moreover, construct an $IBL_\infty$-structure on (a model of) cyclic chains on the cochain algebra of $M$, such that the natural comparison map to the $S^1$-equivariant loop space homology intertwines the Lie bialgebra structure on homology. The construction of the coproduct/cobracket depends on the perturbative partition function of a Chern-Simons type topological field theory. Furthermore, we give a construction for these string topology operations on the absolute loop space (not relative to constant loops) in case that $M$ carries a non-vanishing vector field and obtain a similar description. Finally, we show that the cobracket is sensitive to the manifold structure of $M$ beyond its homotopy type. More precisely, the action of ${ m Diff}(M)$ does not (in general) factor through ${ m aut}(M)$.

研究の動機と目的

• 自由ループ空間$LM$のコホモロジーにおけるチャス＝シンガープロダクトとゴレスキー＝フィングストンコプロダクトの代数的モデルを、$M$上の2点の配置空間を用いて構成すること。
• 多様体$M$のコチェーン代数の巡回チェインに$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-構造を定義し、$S^1$-可換ループ空間ホモロジーと相互作用させること。
• ストリングコプロダクトとコブレケットが、多様体$M$の有理ホモトピー型を超えてその多様体構造に依存することを示すこと。特に、$\mathrm{Diff}(M)$の作用が$\mathrm{aut}(M)$を通らないことを示すこと。
• 単連結な場合に、Poincaré双対性モデルと配置空間データを用いて、ストリングトポロジー作用素の形式的で代数的な記述を提供すること。
• 高次のストリングトポロジー作用素が、ファイバーワイズリトルディスク作用素の加群としての$\mathsf{FM}_M$の有理ホモトピー型によって決定されることを予想すること。

提案手法

• 構成は、多様体$M$上の2点のコンパクト化された配置空間$\mathsf{FM}_M(2)$と、その境界埋め込み$UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$を用い、ストリングプロダクトとコプロダクトをモデル化する。
• $M$のコチェーン代数モデルの巡回チェインに$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-構造を、チェーン＝シモンズ型のトポロジカル場理論からの摂動的分配関数を用いて構築する。
• モデルは、Lambrechts-Stanleyの配置空間モデルと、特に$\mathsf{GC}_M$を含むグラフ複体モデルに依存し、配置空間のホモトピー型を記述する。
• 反復積分を用いて、$M$のdgcaモデル$A$のホッホシュィルトおよび巡回ホモロジーと$LM$のコホモロジーを関連させ、単連結な場合に同型が確立される。
• $\mathsf{FM}_M(2)$のグラフモデルにコネクティングホモトピーを構成し、チェイン写像のズイガットにおけるホモトピーの明示的公式を可能にする。
• コブレケットが微分同相群作用に敏感であることを示すために、自由リー代数に関連する導分の非可換発散を検出する$(1 \otimes \epsilon)\delta$の核を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ループ空間$LM$上のチャス＝シンガープロダクトとゴレスキー＝フィングストンコプロダクトは、$M$上の2点の配置空間を用いて代数的にモデル化可能か？
• RQ2 $M$のコチェーン代数の巡回チェインに定義された$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-構造は、$S^1$-可換ループ空間ホモロジー上のリー双代数構造を正しくモデル化するか？
• RQ3 ストリングコプロダクトとコブレケットは、多様体$M$の有理ホモトピー型を超えて、微分同相群$\mathrm{Diff}(M)$の作用に依存するか？
• RQ4 高次のストリングトポロジー作用素は、ファイバーワイズリトルディスク作用素$\mathsf{FM}_n^M$上の加群としての$\mathsf{FM}_M$の有理ホモトピー型によって完全に記述可能か？
• RQ5 $\mathrm{Diff}(M)$の作用が$\mathrm{aut}(M)$を通じて因子化されるか、それとも追加の幾何的情報を保持するか？

主な発見

• ストリングコプロダクトとコブレケットは、境界埋め込み$UTM \to \mathsf{FM}_M(2)$を用いて構成され、配置空間の観点からこれらの作用素の幾何的起源が与えられる。
• 単連結な場合に、ストリングトポロジー作用素は、$M$のPoincaré双対性モデルと、配置空間$\mathsf{FM}_M(2)$が中心的役割を果たす明快な代数的記述を備える。
• $A$の巡回チェインに$IBL_{\lceil\text{infty}\rceil}$-構造を定義し、$S^1$-可換ループ空間ホモロジーへの比較写像がリー双代数構造を整合させる。
• コブレケットは、多様体$M$の有理ホモトピー型を超えてその多様体構造を検出する。$\mathrm{Diff}(M)$のコブレケットへの作用が$\mathrm{aut}(M)$を通じて因子化されないため、非自明な幾何的コンテンツを含む。
• $(1 \otimes \epsilon)\delta$の$\mathrm{OutDer}^+(\mathbb{L})$上の核は非自明であり、非可換発散が非ゼロである要素を含み、$\pi_*(\mathrm{Diff}(M))$の作用が$\mathrm{aut}(M)$を通じて因子化されない障害を提供する。
• 本稿は、$LM$の有理コホモロジーやコチェーン上のすべての高次ストリングトポロジー作用素が、ファイバーワイズリトルディスク作用素$\mathsf{FM}_n^M$上の加群としての$\mathsf{FM}_M$の有理ホモトピー型によって決定されることを予想する。これは、配置空間とストリングトポロジー不変量との間の深い関係を示唆する。