[論文レビュー] String topology for complex projective spaces

Richard Hepworth|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素射影空間 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ の自由ループ空間における整数係数を用いたストリングトポロジーBatalin-Vilkovisky (BV)代数構造を完全に記述している。Cohen, Jones, Yanによる環構造に関する先行研究を拡張し、BV作用素 $\Delta$ を明示的に計算することで、$\Delta$ が負の次数の生成子 $w$ を含む要素にのみ非自明に作用することを示し、その係数が $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のチャーン類と関連することを示している。主な結果は、トップチャーン類と二項係数を含む $\Delta(c^p w v^q)$ の閉じた公式である。

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan showed that the homology of the free loop space of an oriented manifold admits the structure of a Batalin-Vilkovisky algebra. In this paper we give a complete description of this Batalin-Vilkovisky algebra for complex projective spaces. This builds on a description of the ring structure that is due to Cohen, Jones and Yan. In the course of the proof we establish several new general results. These include a description of how symmetries of a manifold can be used to understand its string topology, and a relationship between characteristic classes and circle actions on sphere bundles.

研究の動機と目的

• 整数係数を用いて $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のストリングトポロジーBV代数を完全に記述するため、BV作用素 $\Delta$ を計算すること。
• $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ の特徴類と $H_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ 上のBV代数構造との間の関係を確立すること。
• 球体バンドルにおける対称性や円作用を用いた手法を一般化し、ストリングトポロジー不変量を計算するための技術を拡張すること。
• $S^2$ および $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ について $\mathbb{Q}$ 上で得られた先行結果を回収・拡張する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• Cohen, Jones, Yan が得た $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$ の既知の環構造を出発点とする。
• $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ の接バンドルの球体バンドルにおける円作用を用いて、BV作用素 $\Delta$ を計算する新しい手法を適用する。
• $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 上の $S^1$-作用に対応する次数上昇作用素を用い、特徴類を介して $\Delta$ を計算する。
• $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 上の二つの $S^1$-作用の間のホモトピーを確立し、BV作用素とチャーン類を関連付ける。
• $c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ および $c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ を用いて、$\Delta$ の公式における係数を特定する。
• $c(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n) = (1+u)^{n+1}$ であることを利用して、$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$ との交点数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数を用いた $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のストリングトポロジーBV代数において、BV作用素 $\Delta$ はどのように作用するか？
• RQ2 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のチャーン類とそのストリングトポロジーBV代数の構造定数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 球体バンドルにおける円作用のような多様体の対称性を用いて、ストリングトポロジーにおけるBV作用素を計算できるか？
• RQ4 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のBV代数における整数係数は、文献における有理数および整数計算とどのように関係しているか？

主な発見

• すべての $c^p v^q$ の形の要素に対してBV作用素 $\Delta$ は消える。つまり、すべての $p,q \geq 0$ に対して $\Delta(c^p v^q) = 0$ である。
• 負の次数の生成子 $w$ を含む要素に対しては、$\Delta(c^p w v^q) = \left[(n-p) + q(n+1)\right]c^p v^q + (q+1)\binom{n+1}{2}c^{n+p} v^{q+1}$ である。
• 公式における係数 $\binom{n+1}{2}$ は、$\langle c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}] \rangle = \binom{n+1}{2}$ の評価から生じる。
• 係数 $(n+1)$ は、$\langle c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^n] \rangle = n+1$ に相当し、これは $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ のトップチャーン数である。
• 公式は $\mathbb{Q}$ とテンソル積を取ることでYang [Yan07] の有理数係数ストリングトポロジー結果を回収し、$S^2 = \mathbb{C}\mathrm{P}^1$ に対してMenichiの結果も回収する。
• BV代数構造は、環構造と $\Delta$ の明示的作用によって完全に決定され、Gerstenhaber括弧はBV恒等式によって定まる。