[論文レビュー] Strong Rigidity of II$_1$ Factors Arising from Malleable Actions of w-Rigid Groups, I

Sorin Popa|ArXiv.org|May 21, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、w-剛性群および可変性のある作用から生じるII$_1$因子について、基礎的な剛性結果を確立し、このような因子間の任意の同型写像が、元の群作用を共役化することを証明している。主な貢献は、摂動後、w-剛性群が終域因子の群部分代数に埋め込まれることを示したことであり、これにより、非古典的ベルヌーイシフトから得られる交叉積II$_1$因子の基本群を完全に計算可能にする。

ABSTRACT

We consider cross-product II$_1$ factors $M = N times_σ G$, with $G$ discrete ICC groups that contain infinite normal subgroups with the relative property (T) and $σ: G o { ext{ m Aut}}N$ trace preserving actions of $G$ on finite von Neumann algebras $N$ that are ``malleable'' and mixing. Examples are the weighted Bernoulli and Bogoliubov shifts. We prove a rigidity result for such factors, showing the uniqueness of the position of $L(G)$ inside $M$. We use this to calculate the fundamental group $\mycal F(M)$ in terms of the weights of the shift, for certain arithmetic groups $G$ such as $G=\Bbb Z^2 times SL(2, \Bbb Z)$. We deduce that for any countable group $S \subset \Bbb R_+^*$ there exist II$_1$ factors $M$ with $\mycal F(M)=S$, thus bringing new light to a longstanding problem of Murray and von Neumann.

研究の動機と目的

• w-剛性群および可変性のある作用から生じる交叉積II$_1$因子間の同型写像に関する重要な初期剛性結果を確立すること。
• 任意の同型写像が、摂動を経て、終域因子の群部分代数へw-剛性群を写像することを示すこと。
• この剛性を用いて、非古典的コンヌ＝ストルマーのベルヌーイシフト作用から生じるII$_1$因子の基本群を計算すること。
• 任意の可算部分群$\mathbb{R}_+^*$が、分離可能なII$_1$因子の基本群として実現可能であることを示すこと。
• 非分離なアラキ＝ウッズ因子を用いて、非可算部分群へ拡張し、可能な基本群の全範囲を示すこと。

提案手法

• w-剛性群の相対的(T)性およびポッパのフレームワークに基づく変形／剛性技術を用いる。
• 標準的自己同型を用いた「かき集められた」部分代数の概念を適用し、摂動後に相対的に剛性のある部分代数が群部分代数に含まれることを示す。
• 部分代数に関しての性質Hを用い、単位的、$N$-双加法的、トレースを保つ、$\ell^2$上でコンパクトな完全正値マップの列を用いる。
• 包含の剛性を適用し、拡散的部分代数のユニタリに一様収束するこれらのマップの性質を示し、部分代数が群代数に含まれない場合には矛盾が生じることを導く。
• ハーガップのコンパクト近似性質とベルヌーイシフト作用の構造を用いて、軌道同値類を区別する。
• 文献[Po3]、[Ga]、[FM]の結果を適用し、非軌道同値性および非可算な外部自己同型群を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可算部分群$\mathbb{R}_+^*$が、分離可能なII$_1$因子の基本群として実現可能か？
• RQ2 算術群の非古典的コンヌ＝ストルマーのベルヌーイシフトから生じる交叉積II$_1$因子の基本群は何か？
• RQ3 非可算な基本群を持つII$_1$因子は存在するか？ また、基本群と因子の分離可能性の関係は何か？
• RQ4 可換な商を持つ場合を含め、非軌道同値な作用の外部自己同型群はどのように異なるか？
• RQ5 w-剛性群の剛性は、交叉積因子間の同型写像が共役作用から生じることをどの程度強制するか？

主な発見

• G=\mathbb{Z}^2\rtimes\Gamma（\Gamma\subset SL(2,\mathbb{Z})で有限指数）の非古典的コンヌ＝ストルマーのベルヌーイシフトから生じる交叉積II$_1$因子Mの基本群$\mathfrak{F}(M)$は、作用の重み$t_i$の比集合$\{t_i/t_j\}_{i,j}$によって生成される乗法的群に等しい。
• 任意の可算部分群$S\subset\mathbb{R}_+^*$は、分離可能なII$_1$因子の基本群として実現可能である。
• 任意の非可算部分群$S\subset\mathbb{R}_+^*$は、非分離なアラキ＝ウッズ因子を用いて、$\dim L^2(M)=|S|$を満たすII$_1$因子の基本群として実現可能である。
• $\mathbb{F}_n$上の作用$\sigma_0, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4$は非可算な外部自己同型群を持つが、$\sigma_1$は高々可算なOut群を持つ。
• $\mathbb{F}_n$上の5つの作用$\sigma_i$（$0\leq i\leq 4$）は互いに非軌道同値であり、5つの異なる軌道同値類を提供する。
• $G=\mathbb{Z}^2\rtimes\Gamma$（$\Gamma$が$SL(2,\mathbb{Z})$の有限指数部分群）の$L(G)$の基本群は$\{1\}$に等しく、[Po3]での先行結果を確認する。