[論文レビュー] Structure of the mapping class groups of surfaces: a survey and a prospect

Shigeyuki Morita|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 75被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、曲面の写像類群の位相的構造をサーベイし、3次元多様体不変量、モジュライ空間の不安定コホモロジー、ジョンソン準同型の余核、および曲面バンドルの特徴クラスとの関連を含む、今後の研究方向性を提案する。実験的結果を提示し、無限次元リー代数および自由群の外部自己同型群のコホモロジーに関する予想を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we survey recent works on the structure of the mapping class groups of surfaces mainly from the point of view of topology. We then discuss several possible directions for future research. These include the relation between the structure of the mapping class group and invariants of 3-manifolds, the unstable cohomology of the moduli space of curves and Faber's conjecture, cokernel of the Johnson homomorphisms and the Galois as well as other new obstructions, cohomology of certain infinite dimensional Lie algebra and characteristic classes of outer automorphism groups of free groups and the secondary characteristic classes of surface bundles. We give some experimental results concerning each of them and, partly based on them, we formulate several conjectures and problems.

研究の動機と目的

• 曲面の写像類群の位相的構造について包括的なサーベイを提供すること。
• 3次元多様体不変量との潜在的関連を含め、写像類群理論における未解決問題を特定・探求すること。
• 曲線のモジュライ空間の不安定コホモロジーとファーバーの予想との関係を調査すること。
• ジョンソン準同型の余核の分析と、ガロア作用およびその他の算術的障害に与える影響を検討すること。
• 無限次元リー代数のコホモロジーが、曲面バンドルの2次特徴クラスの定義に果たす役割を研究すること。

提案手法

• 位相的および幾何学的手段を用いて、写像類群理論における最近の発展をサーベイする。
• コホモロジー的技法を用いて、曲線のモジュライ空間の構造とその不安定コホモロジーを研究する。
• ジョンソン準同型を、写像類群の代数的構造を調べる中心的ツールとして用いる。
• 自由群の自己同型群に関連するリー代数のコホモロジーを分析する。
• 代数的トポロジーおよび特徴クラス理論を用いて、曲面バンドルに対する2次特徴クラスを導入・計算する。
• 計算的および理論的考察に基づく実験的結果を提示し、新たな予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群のコホモロジー的不変量は、3次元多様体の不変量とどのように関係しているか？
• RQ2 曲線のモジュライ空間の不安定コホモロジーの構造は何か？ また、ファーバーの予想とはどのように関連しているか？
• RQ3 ジョンソン準同型の上への性質に関する障害は何か？ そして、ガロア作用はそれらにどのように影響するか？
• RQ4 無限次元リー代数のコホモロジーは、曲面バンドルの新しい特徴クラスを定義するためにどのように利用できるか？
• RQ5 2次特徴クラスは、曲面バンドルの位相的性質およびモノドロミー表現にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 論文は、写像類群のコホモロジーと3次元多様体の不変量との間に深い関係があることを特定し、微分位相幾何学の新たな道筋を示唆する。
• 実験的結果は、曲線のモジュライ空間の不安定コホモロジーが特定の次数で非自明であるという予想を支持する。
• ジョンソン準同型の余核が算術的情報を含み、ガロア作用による潜在的障害を有することが示された。
• 無限次元リー代数のコホモロジーから生じる、曲面バンドルの新しい2次特徴クラスが提案された。
• 自由群の外部自己同型群のコホモロジーが、曲面バンドルの特徴クラスと関連しており、より広範な枠組みを示唆する。
• 特にジョンソンフィルトレーションの構造とそのコホモロジー的意味に関する計算的証拠に基づき、複数の予想が提示された。