[論文レビュー] Study on Dynamics of N Level System of Atom by Laser Fields

Kazuyuki Fujii|ArXiv.org|Dec 16, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、回転波近似（RWA）の下で複数のレーザー場と相互作用するN準位原子の量子ダイナミクスモデルを構築し、シュレーディンガー方程式を対称結合行列Qの行列指数に還元する。3準位および4準位系に対しては正確な解が導出され、量子状態の時間発展の現実的なシミュレーションが可能となり、3準位原子を用いたキャビティQEDに基づく量子計算への道筋が開かれる。

ABSTRACT

This paper is an extension of Fujii et al (quant--ph/0307066) and in this one we again treat a model of atom with n energy levels interacting with n(n-1)/2 external laser fields, which is a natural extension of usual two level system. Then the rotating wave approximation (RWA) is assumed from the beginning. To solve the Schr{\" o}dinger equation we set the {\bf consistency condition} in our terminology and reduce it to a matrix equation with symmetric matrix $Q$ consisting of coupling constants. However, to calculate $\exp(-itQ)$ {\bfexplicitly} is not easy. In the case of three and four level systems we determine it in a complete manner, so our model in these levels becomes realistic. In last, we make a comment on Cavity QED quantum computation based on three energy levels of atoms as a forthcoming target.

研究の動機と目的

• よりスケーラブルな量子計算を実現するため、2準位原子モデルをn(n-1)/2本のレーザー場と相互作用するN準位系に拡張すること。
• 任意の結合定数を有する多準位原子に対する時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くという課題を克服すること。
• 動的問題を行列指数に還元するため、対称結合行列Qを用いた一貫性のある枠組みを確立すること。
• 3準位および4準位系の時間発展に対して正確な解析的解を提供し、量子ダイナミクスの現実的なモデリングを可能にすること。
• 3準位原子系を用いたキャビティQEDに基づく量子計算の今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• ハミルトニアンにおける高速振動項を排除するため、当初から回転波近似（RWA）を仮定する。
• 結合定数から構成される実対称行列Qを含む行列方程式にシュレーディンガー方程式を還元する。
• 時間依存問題を解ける行列指数形式 exp(-itQ) に変換するための整合性条件を適用する。
• 3準位系に対して、立方特徴方程式を解くことによりQの正確な固有値および固有ベクトルを導出する。
• 4準位系に対しては、対称行列の構造と正規化制約を用いて完全な解析的還元を実施する。
• ユニタリ性と状態ベクトルの正規化を保証するため、適切な位相選択を伴う複素平方根を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のレーザー場下でのN準位原子のダイナミクスを、2準位近似を越えて体系的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 多準位原子系の時間発展を、対称結合行列Qの行列指数に還元できるか？
• RQ3 RWA下での3準位および4準位原子系の時間発展に対する正確な解析的解は何か？
• RQ4 結合定数および準位間隔が多準位系における励起状態分布とコherenecのダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ5 3準位原子を用いたキャビティQEDは、スケーラブルな量子計算に実現可能か？

主な発見

• 3準位系において、結合行列Qの固有値は次の立方程式を満たす：λ³ - (g₁² + g₂² + g₃²)λ - 2g₁g₂g₃ = 0。
• Qの正規化固有ベクトルは、Dⱼ = √(3λⱼ² - g₁² - g₂² - g₃²) を用いて、|λⱼ⟩ = ( √(λⱼ² - g₂²)/Dⱼ , √(λⱼ² - g₃²)/Dⱼ , √(λⱼ² - g₁²)/Dⱼ )ᵀ として閉形式で表される。
• Qのスペクトル分解を用いて、時間発展演算子 exp(-itQ) が明示的に構成される。
• 本手法により、状態ベクトルの時間発展に対する正確な解が得られ、3準位系におけるラビ振動やコherenecの精密なシミュレーションが可能となる。
• 4準位系においては、対称行列還元を用いて本手法が一般化されるが、3準位系に比べてより複雑な解析的解が得られる。
• 本フレームワークはクイジットベースの量子計算へも拡張可能であり、特に3準位原子を用いたキャビティQEDが今後の主要な応用分野であると示された。