[論文レビュー] Sublinear Time Estimation of Degree Distribution Moments: The Degeneracy Connection

Talya Eden, Dana Ron+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフの退化度を活用することで、クエリ複雑性を著しく改善した、無向グラフにおける次数分布モーメントを推定する新しいサブリニア時間アルゴリズムを提示する。有界退化度グラフ（例：マイナー閉包族やプレファレンシャルアタッチメントネットワーク）において最適な境界を達成し、平均次数を Õ(1) クエリ、分散を Õ(√n) クエリで推定する。これは、従来の最悪ケース境界を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We revisit the classic problem of estimating the degree distribution moments of an undirected graph. Consider an undirected graph $G=(V,E)$ with $n$ vertices, and define (for $s > 0$) $μ_s = \frac{1}{n}\cdot\sum_{v \in V} d^s_v$. Our aim is to estimate $μ_s$ within a multiplicative error of $(1+ε)$ (for a given approximation parameter $ε>0$) in sublinear time. We consider the sparse graph model that allows access to: uniform random vertices, queries for the degree of any vertex, and queries for a neighbor of any vertex. For the case of $s=1$ (the average degree), $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ queries suffice for any constant $ε$ (Feige, SICOMP 06 and Goldreich-Ron, RSA 08). Gonen-Ron-Shavitt (SIDMA 11) extended this result to all integral $s > 0$, by designing an algorithms that performs $\widetilde{O}(n^{1-1/(s+1)})$ queries. We design a new, significantly simpler algorithm for this problem. In the worst-case, it exactly matches the bounds of Gonen-Ron-Shavitt, and has a much simpler proof. More importantly, the running time of this algorithm is connected to the degeneracy of $G$. This is (essentially) the maximum density of an induced subgraph. For the family of graphs with degeneracy at most $α$, it has a query complexity of $\widetilde{O}\left(\frac{n^{1-1/s}}{μ^{1/s}_s} \Big(α^{1/s} + \min\{α,μ^{1/s}_s\}\Big) ight) = \widetilde{O}(n^{1-1/s}α/μ^{1/s}_s)$. Thus, for the class of bounded degeneracy graphs (which includes all minor closed families and preferential attachment graphs), we can estimate the average degree in $\widetilde{O}(1)$ queries, and can estimate the variance of the degree distribution in $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ queries. This is a major improvement over the previous worst-case bounds. Our key insight is in designing an estimator for $μ_s$ that has low variance when $G$ does not have large dense subgraphs.

研究の動機と目的

• サブリニア時間における次数分布モーメント推定のための、より効率的かつ概念的に単純なアルゴリズムの設計。
• モーメント推定のクエリ複雑性を、局所的密度を測る構造的性質である退化度に関連付けること。
• 現実のグラフ族における低退化度の特徴を活用することで、従来の最悪ケースクエリ境界を改善すること。
• 有界退化度グラフにおいて、平均次数推定に定数クエリのアルゴリズムが存在することを示すこと。
• 退化度の知識が、一般手法が Ω(√n) クエリを必要とするようなサブリニアアルゴリズムの構築を可能にすることを確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、スパースグラフモデル内での均一なランダム頂点クエリ、次数クエリ、隣接頂点クエリを用いる。
• 大規模な密な部分グラフを含まない、すなわち低退化度のグラフにおいて、分散が小さい新しい μs の推定器を導入する。
• クエリ複雑性は Õ(n^{1-1/s} α / μ_s^{1/s}) で抑えられ、ここで α は退化度、μ_s は次数分布の s 次モーメントである。
• この手法はグラフの退化度に適応し、有界退化度族ではほぼ定数クエリ複雑性を達成する。
• 重要な技術的洞察として、退化度が推定器の分散を制御し、より鋭い集中不等式を可能にする。
• Gonen, Ron, および Shavitt らの先行研究よりも単純な設計と著しく簡素化された解析を実現している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的性質としての退化度を活用することで、次数分布モーメント推定のクエリ複雑性を改善できるか？
• RQ2 有界退化度グラフにおいて、平均次数推定に Õ(1) クエリで達成可能か？
• RQ3 グラフの退化度が、サブリニアモーメント推定の複雑性を制限する意味のあるパラメータとなるか？
• RQ4 従来の研究と同等のクエリ複雑性を達成しつつ、より良い構造的洞察を提供する単純なアルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 退化度が未知であっても、有界退化度グラフ族において、μs の推定の本質的クエリ複雑性は何か？

主な発見

• 退化度が α 以下であるグラフでは、アルゴリズムが Õ(n^{1-1/s} α / μ_s^{1/s}) のクエリ複雑性を達成する。これは、多項対数因子を除いて最適である。
• 有界退化度グラフ（例：マイナー閉包族やプレファレンシャルアタッチメントグラフ）では、平均次数が Õ(1) クエリで推定可能である。
• このようなグラフにおいて、次数分布の分散は Õ(√n) クエリで推定可能であり、一般グラフに対する最良の既知の境界と一致する。
• Gonen, Ron, および Shavitt のアルゴリズムの最悪ケースクエリ複雑性を再現するが、はるかに単純な設計と解析を実現している。
• 退化度の知識は不可欠である：退化度 ≤2 のすべてのグラフに対して動作するアルゴリズムは、最悪ケースで still Ω(√n) クエリを必要とする。
• 下界により、退化度2のグラフですら、c-有効なアルゴリズムが √n 未満のクエリ複雑性を達成できないことが示され、境界のタイトさが証明された。