[論文レビュー] Super, quantum and non-commutative species

Rafael Díaz, Eddy Pariguán|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、負の対象と対称モノイダル圏を含むように組合せ的体系の理論を拡張することにより、超、量子、非可換組合せ論のカテゴリカルな枠組みを提示する。量子および超体系を用いたウェイル代数および変形量子化のカテゴリフィケーションを確立し、ファインマン積分の形式的扱いと、グラスマン変数を用いた形式的べき級数への価値写像を提供する。

ABSTRACT

We introduce an approach to the categorification of rings, via the notion of distributive categories with negative objects, and use it to lay down categorical foundations for the study of super, quantum and non-commutative combinatorics. Via the usual duality between algebra and geometry, these constructions provide categorifications for various types of affine spaces, thus our works may be regarded as a starting point towards the construction of a categorical geometry.

研究の動機と目的

• 分配圏に負の対象を含めるようにして、超、量子、非可換組合せ論のカテゴリカルな基礎を構築すること。
• 組合せ的体系の理論を、形式的べき級数およびグラスマン変数を含むように拡張し、量子場理論および変形量子化のカテゴリカルな取り扱いを可能にすること。
• 量子体系を用いたウェイル代数およびスター積のカテゴリフィケーションを提供し、生成・消滅演算子の正規順序付けの新しい視点を提示すること。
• アフィン空間および形式的ポisson構造のカテゴリフィケーションを通じて、カテゴリカル幾何学の土台を築くこと。
• 超体系のカテゴリから、反交換変数を用いた形式的べき級数環への価値写像を確立し、圏論と物理における代数的構造を結びつけること。

提案手法

• 半単純な群ガロア $G$ から対称モノイダル圏 $C$ への関手としての $G$-$C$ 体系を定義し、組合せ的体系の一般化を行う。
• 超体系を、$\mathbb{B}^d \times F_m$ から対称分配圏 $C$ への関手として定義する。ここで $\mathbb{B}^d$ はボソン的構造を表し、$F_m$ はフェルミオン的構造を表す。
• 対象およびインデックス集合の分割に基づく直和および符号付きテンソル積を用いて、超体系における和および積の演算を構成する。
• 各超体系 $F$ に対して、形式的べき級数 $x_1, \dots, x_d$ およびグラスマン変数 $\theta_1, \dots, \theta_m$ における値写像 $|F|$ を定義する。
• 超乗法的数列を定義し、対象およびインデックス集合の分割に基づく符号付き和による組合せ的解釈を提供する。
• すべての順序付き分割にわたる符号付きテンソル積を用いて超体系の逆を定義し、$|S||S^{-1}| = 1$ を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組合せ的体系の理論は、量子および超理論的応用のための負の対象および非可換構造をどのように拡張できるか？
• RQ2 ウェイル代数のカテゴリカルな類似物は何か？ そして、量子場理論における正規順序付けとどのように関係するか？
• RQ3 構造的群ガロアから対称モノイダル圏への関手を用いて、変形量子化をどのようにカテゴリフィケーションできるか？
• RQ4 グラスマン変数および符号付きテンソル積は、超対称体系の整合的な代数的構造を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 摂動的ファインマン積分、スター積、超リー代数を統合する形式的なカテゴリカルな枠組みを構築できるか？

主な発見

• 超体系のカテゴリ $C^{\mathbb{B}^d \times F_m}$ は、定義された和および積の演算に関して、対称分配圏をなす。
• 価値写像 $|F| = \sum_{(a,I)} |F([a], I)| \frac{x^a}{a!} \theta_I$ は、形式的べき級数環 $R[[x_1,\dots,x_d]] \otimes \bigwedge[\theta_1,\dots,\theta_m]$ への well-defined な環準同型である。
• 超乗法的数列は、対象およびインデックス集合の分割を含む符号付き二項係数型の恒等式を満たし、古典的二項係数を一般化する。
• 超体系 $S = 1 - F$ の逆は、対象およびインデックス集合のすべての順序付き分割にわたる符号付き和として与えられ、価値環における乗法的逆元の性質を保証する。
• この構成により、量子体系の構造を通じて、量子場理論における正規順序付け問題のカテゴリカルな解釈が得られる。
• この枠組みにより、定数ポアソン括弧を有する文脈において、摂動的ファインマン積分および変形量子化の形式的、カテゴリカルな取り扱いが可能になる。